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arbitrariamente piccolo, vi sono infiniti valori (punti) u per cui la serie è con- 
vergente ed infiniti punti per cui è divergente; i due insiemi sono egualmente 
densi lil ). Quando poi occorra considerare le serie aventi per termine generale 
quello ora detto accompagnato da un termine periodico, si ripresentano natu- 
ralmente le stesse particolarità: e le funzioni che nascono dalla loro integra- 
zione termine a termine, e definiscono propriamente la perturbazione, sono 
funzioni continue analitiche di v; ma la convergenza della serie non è unifor- 
me; e ciò obbliga, in pratica, a prendere un numero sempre più grande di 
termini quanto più ampio è l'intervallo di tempo che si considera; in altre 
parole i resti delle serie si fanno sempre più sensibili. Si può anzi dimostrare 
che per i grandi assi, le inclinazioni, la longitudine del perielio e del nodo si 
commettono errori che crescono proporzionalmente al tempo: mentre per la 
longitudine media crescono come il quadrato del tempo. 
Ciò spiega come possa non trovarsi a volte sufficiente accordo tra le osser- 
vazioni ed il calcolo fondato sulle serie trigonometriche; accordo che deve rag- 
giungersi quante volte si riuscisse a perfezionare i mezzi analitici per domi- 
nare le successive approssimazioni, cioè a perfezionare ancora la teoria delle 
perturbazioni. In moltissimi casi l'accordo è stato raggiunto da un pezzo: basti 
ricordare la spiegazione teorica dell'accelerazione secolare della luna scoperta 
da Laplace. Invece, com'è noto, non si è ancora riusciti per l'accelerazione 
media annua del moto del perielio di Mercurio liS ). 
Insieme ai due indirizzi di cui abbiamo già brevemente trattato cioè 
sviluppo in serie procedenti per le potenze delle masse: sviluppo per serie 
trigonometriche di funzioni lineari del tempo, un terzo si presenta subito e 
naturalmente, cioè lo sviluppo per serie procedenti secondo le potenze intere 
m ) Gyldkn ha creduto poter affermare tuttavia che la probabilità di una divergenza è infini- 
tamente piccola: Quelques remarques relativement à la représentation des nombres irrationnels au moyen 
des fractions continues [Comp. rendus, t. 106, pp. 1584-1587; 1777-1781 (1888); OlVersigt af K. 
Veten.-Ak. Forhandlingar, 1888]. Questi lavori hanno dato origine ad altri di Brodén, Wiman e ad 
una controversia. Vedasi anche: Charlier, Ueber die trigonometrischen Entwickelungen in der Stò- 
rungstheorie [Astr. Nach., Bd. 141, pp. 273-278 (1896); Die Mechanik des Himmels, Bd. 2, pp. 304-020]. 
liS ) Dai lavori di Newcomb risulta che se si volesse spiegare tale accelerazione cambiando 
la legge di attrazione, ponendola eguale, non già ad ?- -2 , ma ad r -2- *, dovrebbe essere 5 circa 
16. IO - "; invece le recentissime teorie del Brown sul moto del perigeo nel nodo lunare danno 
5 circa 4. IO -8 . Brown: Un the Verification of the Newlonian Law [Monthly Not. , v. 63, pp. 396- 
278 (1903)]. 
'*') Di un altro metodo di approssimazione con cui Dirichlkt asserì aver risoluto il pro- 
blema dei tre corpi, non sappiamo nulla; perchè nulla fu trovato nelle carte lasciate dal grande 
matematico. Si ha solamente notizia di una comunicazione l'atta dal DlRlCHLBT , poco prima della 
sua morte, al Kroneckkr, ed in termini che non ammettono alcun dubbio sulla importanza della 
scoperta, purtroppo perduta. Si vela: E. Kummkk, (jedachlnissrede auf G. P. Lejtune-Dirichlet 
[Abhand. der K. Ak. der Wiss. zu Berlin, 1860, pp. 1-36; ct'r. pag. 35]; L. Kroneckbr, Bemer- 
kangen iiber DMchUt' » lette Arbeilen [Sitzungsber. der K. Preuss. Ak. der Wiss., 1888, pp. 439-442]. 
