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del tempo. Il primo esempio di tali sviluppi ce lo ha dato Lambert "*); e può 
anche" avvenire che, restringendo convenientemente i limiti di variabilità del 
tempo, essi possano essere, in qualche caso speciale, utili e convenienti ls5 ). 
Ma volendo avere una soluzione rigorosa del problema e quindi la rappre- 
sentazione di tutti gli elementi del moto (coordinate, velocità) mediante serie 
valide per qualsiasi valore del tempo, si vede subito che intervengono diffi- 
coltà molto gravi. Infatti le equa/ioni differenziali del moto, nella loro forma 
classica e quali immediatamente risultano dalla applicazione del 2° principio 
di Newton, contengono a secondo membro, a denominatore, le distanze dei tre 
corpi e perdono il loro carattere analitico regolare tutte le volte che due o 
tutti e tre i corpi si avvicinano indefinitamente. In altre parole le coordinate 
non sono funzioni uniformi del tempo; e bisogna quindi girare la difficoltà, 
cercando di ristabilire la uniformità esprimendo tempo e coordinate in funzione 
di una opportuna variabile ausiliaria. 
Un primo accenno di questo nuovo indirizzo si ha già in alcune note di 
Cauchy, le ultime che egli abbia scritte (la variabile capace di ristabilire l'uni- 
formità, viene appunto da Cauchy chiamata la e/c/' de l'orbite); e, pel caso del 
problema ristretto, in un lavoro di T. N. Thiele '""). 
11 Weierstrass nel 1888 propose, come uno dei temi pel concorso del re 
Oscar, la rappresentazione delle coordinate del problema dei tre corpi me- 
diante serie procedenti secondo potenze intere di una variabile; e da quanto 
pubblicarono prima il Cantor, a proposito di alcune critiche mosse al tema 
stesso e al dubbio generalmente sorto che esso non fosse risolubile, almeno 
nella forma richiesta dal tema di concorso: e recentemente il Mittag-Leffler, 
risulta chiaramente che il Weierstrass ne possedesse, se non altro nelle sue 
linee generali, la soluzione; conoscendo la condizione perchè i tre corpi non 
si urtino tutti e tre in uno stesso istante e avendo pensato ad una continuazione 
analitica del moto dopo una collisione semplice (cioè urto di due tre corpi). Ma 
nulla peraltro egli pubblicò mai sull'argomento 127 ). 
Il primo notevole contributo è dovuto al Painlevé nel 189(5. Egli mostrò 
m ) Vedi nota ,8 ). 
iìo ) Valendosi appunto di questi sviluppi lo Charlieu ha potuto trattare teoricamente un 
caso di orbite periodiche calcolate da v. Harrdtl , di cui dovremo occuparci , trovando un suf- 
ficiente accordo tra i valori calcolati da questo astronomo e quelli ottenuti con gli sviluppi in 
serie: Studiar òfver tre-kroppars-problemet [Bihang till K. Svenska Vet.-Ak. Handlingar, Bd. 18, 
n.° 6, pagine 22 (1892)]. 
,26 ) Sur V integration des systèmes d'équations différentielles et spécialement de ceux qui expriment ìes 
mouvements des astres [Comp. renius, t. 44, pp. 805-807 (1857)]; Méthode nouvelle pour la determi- 
natimi des mouvements des astres [Xbid. , pp. 851-854]. 
T. N. Thiklb, Recherches numériques concernant des solution* pèriodiques d'un cas special du 
problime des trois corps [Astr. Nach., Bd. 138, pp. 1-10 (1895)]. Egli cambia il tempo in un'altra 
variabile per modo da far scomparire le singolarità. 
127 ) Gir. Preisaufgabe. Acta Mathem., t. 7, (1888); G. Cantor, Ein Brief von Cari Weierstrass 
iiber das Dreikòrperproblem [Kend. Circolo Matem. Palermo, t. 19, pp. 305-308 (1905)]; Mittag- 
Lkfflrr, Zur Biographie von Weierstrass [Acta Mathem., t. 35, pp. 29-65 (1912)]. La pubblica- 
zione delle lettere di Weierstrass è posteriore alle ricerche del Sundman. Vedi Nota ,ss ). 
