anzitutto la possibilità dello sviluppo delle coordinate dei tre corpi in serie di 
polinomi in / (tempo) purché non vi siano urti tra i tre corpi; ed accennò al 
fatto probabile che le condizioni di urto sono determinate da due condizioni 
analitiche distinte : per n = 2 esse sono algebriche; per n > 2 (e nella ipotesi 
che tre almeno delle masse non siano nulle) le dette condizioni debbono es- 
sere sicuramente trascendenti. Nel caso poi del problema ristretto, una sola è 
la condizione di urto. Poscia nelle lezioni di Stockholm del 1897, riprendendo 
l'argomento, dimostrò che il moto è regolare in ogni intervallo di tempo in 
cui non avvengono urti: e quando cessa di essere regolare non si possono pre- 
sentare che due casi: o i tre corpi si urtano in uno stesso punto; o due soli 
si urtano mentre le loro distanze al terzo tendono ad un limite finito ls8 ). 
La questione della ricerca delle condizioni di urto posta dal Painlevé, è 
stata risoluta nel 1903 dal Levi-Civita e dal Bisconcini. Il Levi-Civita ha con- 
siderato il caso del problema ristretto ed è riuscito a costruire una relazione 
analitica uniforme, data da una serie ordinata secondo le potenze della distanza 
dei due corpi che si urtano, caratteristica per gli urti passati (ejezioni) e per 
i futuri (collisioni); ed ha fatto lo studio qualitativo delle traiettorie del pla- 
netoide in un intorno del punto in cui avviene l'urto. In una seconda memoria 
proseguendo queste ricerche ha data una rappresentazione olomorfa di tutti 
gli archi di traiettoria possibile in una regione sufficientemente piccola del 
punto di urto, riuscendo quindi ad assegnare, in tale ragione, un integrale uni- 
forme, diverso da quello dell'energia, nelle coordinate e nelle velocità del pla- 
netoide ; risultato che non è in contradizione con quello di Poincaré, relativo 
alle variabili kepleriane l49 ). L'estensione del metodo precedente al caso gene- 
rale dei tre corpi è stata fatta dal Bisconcini, il quale ha giustificato l'asser- 
zione del Painlevé, assegnando le due condizioni analitiche distinte, fra le 
condizioni iniziali, necessarie per l'urto e che disgraziatamente si presentano 
sotto forma assai complicata ""). 
Il passo decisivo è stato fatto da Karl F. Sundman, astronomo di Helsingfors, 
in alcuni lavori pubblicati dal 1907 al 1912 e premiati dall'Accademia delle 
Scienze di Parigi l31 ). 
us ) Sur les singularités des équations de la Dynamique et sur le problème dea trois corps [Comp. 
rendus, t. 123, pp. 871-873 (1896)]; Sur les cas du problème des trois corps (et des n corps) oh dtux 
des corps se cltoquent au bout d'un temps fini [ I b i d . , t. 125, pp. 1075-1081 (1897)]; Lecons sur la 
théorie analytique des équations difi'érentiellcs , professóes à Stockholm. Paris, Hermann, 1897. 
,!9 ) Traiettorie singolari ed urti nel problema ristretto dei tre corpi [Ann. di Matem., s. 3, t. 9, 
pp. 1-32 ( 190B; J ; Sur la résolution qualitative du problème restreint des trois corps [Acta Matheni., 
t. 30, pp. 305-327 (1904)]. 
13u ) Sur le problème dea trois corps [Acta Mathera., t. 30, pp. 49-91 (1904)]. La deduzione del 
Bisconcini poggia sul postulato che in vicinanza di P 0 la velocità angolare di P 0 P,, nel moto 
relativo rispetto a P 0 , sia finita. E così infatti, come ha poi mostrato il Sundman. 
iSI ) Jiecherches sur le problème des trois corps [Acta Societatis Scientiarum Fennicae, t. 34, n. u 6 
(1907)]; Nouvelles recherches sur le problème des trois corps [lbid. , t. 35, n.° 9 (1909)]; Mémoire 
sur le problème des trois corps [Acta Mathem., t. 36, pp. 106-179 (1912 ]. Il Sundman era già noto 
per aver cooperato (vedi Nota l0K )) alla pubblicazione dell' opera postuma di Gyi,dkn e per ri- 
cerche latte sui piccoli pianeti: Ueber die Stòrungen der kleinen l'ianeten. Helsingfors, 1901. 
