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11 Sundman raggiunge risultati estremamente notevoli e, cosa ancor più 
notevole, con una straordinaria semplicità di mezzi. La base delle sue consi- 
derazioni è costituita dal teorema di Cauchy-Picard per un sistema di n equa- 
zioni differenziali del 1° ordine, non contenente esplicitamente il tempo. Al 
sistema delle diciotto equazioni differenziali del primo ordine relative al nostro 
problema si l'anno subire due trasformazioni: la prima è quella solita di Jacobi- 
RADAU fatta in guisa cbe dai secondi membri delle equazioni venga eliminata 
una delle tre distanze; l'altra è ottenuta effettuando un cambiamento di va- 
riabile, già accennato dal Bruns lSs ), ponendo dt = rdu, r essendo la più pic- 
cola delle distanze in un determinato intervallo di tempo. Inoltre si vale in 
modo nuovo ed ingegnoso della funzione già considerata da Lagrange (somma 
dei quadrati delle distanze divise per ciascuna massa) e colla quale riesce a 
porre sotto forma nuova l' integrale dell'energia. 
L'applicazione del teorema di Cauchy conduce a sviluppare, in un inter- 
vallo di tempo in cui il moto è regolare, le coordinate in funzione di potenze 
di / — / 0 e ad assegnare un limite superiore per il raggio di convergenza delle 
serie e quindi a dare una nuova e semplice dimostrazione del teorema di Paix- 
levk sui diversi casi che possono presentarsi nell'istante in cui il moto cessa 
di essere regolare (urto). 11 Sundman studia profondamente il caso in cui avviene 
un urto semplice (cioè in cui si urtano due soli corpiì esprimendo il tempo, 
le coordinate, le distanze con serie procedenti secondo le potenze intere della 
variabile u e valide naturalmente prima dell'urto. Esprimendo inversamente 
la u con una serie procedente secondo le potenze intere di (/ — /„)' m ), le 
serie precedenti gli permettono di definire analiticamente il moto al di là di 
un urto; e quindi di definire il moto per tutti i valori del tempo e qualunque 
sia il numero delle collisioni semplici, lino ad un istante in cui il limite della 
funzione di Lagrange è nullo. E tale istante non esisterà se le costanti delle 
aree non sono tutte e tre nulle; cioè, se tali costanti non sono tutte e tre nulle, 
non è mai possibile una collisione tripla '**). 
Einalmente, osservando che la scelta della variabile u dipende dalla più 
piccola delle tre distanze, e quindi la sua definizione può variare da istante 
ad istante, il Sundman è riuscito ancora a ristabilire la simmetria dei calcoli, 
sostituendo alla u una nuova variabile o>, simmetrica nelle tre distanze; ed il 
risultato della ricerca, ferma l'ipotesi sulle costanti delle aree, si riassume 
l3ì ) Vedi nota li0 j. 
• m j Anche il YVeierstrass , come abbiamo osservato a nota ,S7 ), aveva pensato ad una con- 
tinuazione analitica del moto dopo l'urto. Vedi lettera 2 febbraio 1889 in Acta Mathem., t. 35, 
pp. 57-58. 
Pel caso dei due corpi lo stesso teorema era stato in precedenza notato dallo Charliek : 
Die Me.ch.anik des Himmels , Bd. 1, p. 175 (1902). 
"*) Anche questo teorema era stato trovato dal Wkierstrass, loco citato. Egli scrive: «tur 
« n = 3 lasst sich temer leicht zeigen, dass alle drei Punkte nur in dem Falle zusammeutretf'en 
« kónnen wenn drei bei den Flachensatzen vorkommenden Integrationskonstanten verschwinden. 
« Es scheint mir daher unbedenklich den iu Rede stehenden Satz als gultig himzustellen. » 
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