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Tutte le ineguaglianze, in tal metodo, si presentano espresse da formule 
algebriche in cui non figurano che lettere e coefficienti numerici, quozienti 
di numeri interi. Tal metodo quindi, per concorde parere di tutti i mate- 
matici, costituisce il più importante progresso fatto nella Meccanica celeste 
da Laplace in poi ed è assai superiore, dal punto di vista teorico, a quello 
così utile e celebrato di Hansen, esclusivamente numerico; al modo stesso che 
ai primordi della teoria della luna, il metodo di d'Alembert ha costituito un 
progresso su quello di Clairaut. 
Ma le serie di Delaunay sono pochissimo convergenti e procedono secondo 
le potenze delle eccentricità, dell'inclinazione, della parallasse del sole e del rap- 
porto m dei moti medi. Supponendo nulle le prime quattro di queste costanti 
si otterrà una soluzione particolare del problema ristretto e precisamente quella 
corrispondente alla ineguaglianza detta variazione, e che dà una prima appros- 
simazione della traiettoria della luna, assai più vantaggiosa, pei calcoli ulte- 
riori, della solita ellissi kepleriana. Per dare un'idea della lenta convergenza 
delle serie introdotte in questa teoria, basta osservare che il rapporto del moto 
medio del perigeo al moto medio solare, sviluppato in serie che procedono se- 
condo le potenze intere di m (che è circa '/,,), ha dei coefficienti numerici, a 
cominciare da m n , più grandi dell'unità; e ([nello di m° è il rapporto di due 
numeri interi di 14 e di 9 cifre rispettivamente. InoKre, prima di arrivare ad 
una funzione perturbatrice non contenente altri termini periodici occorrono 
non meno di 497 operazioni e 57 per liberarla dai suoi termini più importanti. 
I lavori di Giorgio Guglielmo Hill (1838-1914), cominciati a pubblicare 
nel 1877, aprono una nuova era per lo studio del problema ristretto e per tutta 
la Meccanica celeste. 
Hill osserva che nel metodo di Delaunay, fondato sull'uso delle equazioni 
canoniche, si raddoppia il numero delle variabili; di più che esso è poco van- 
taggioso quando si vogliano prendere in considerazione soltanto alcune delle 
disuguaglianze e infine, quando si riguarda più specialmente il lato matema- 
tico che quello astronomico, egli ritiene più opportuno valersi delle coordinate 
cartesiane ortogonali anziché delle polari, e cita l'esempio del problema dei 
due corpi, in cui le coordinate rettangolari di un pianeta rispetto al corpo cen- 
trale si esprimono assai elegantemente con serie trigonometriche ; ciò che non 
accade nè per la longitudine nè per la latitudine. Valendosi dunque di equa- 
zioni cartesiane egli evita il preliminare sviluppo della funzione perturbatrice 
mediante gli elementi ellittici; e poscia ricorre al vecchio metodo di Euler, 
dividendo gli sviluppi periodici delle coordinate lunari in gruppi di termini e 
trattando di cinque classi di ineguaglianze: quella dipendente dal rapporto dei 
moti medi del sole e della luna; quella dipendente dall'eccentricità lunare: 
dall'inclinazione; dall'eccentricità del sole; e finalmente dalla parallasse solare. 
Hill però non ha pubblicato che due soli capitoli di queste ricerche: il primo 
riguarda le equazioni del moto e la ineguaglianza detta variazione; il secondo, 
l'ineguaglianza del moto del perigeo '*"). 
ll6 j L'ordine col quale furono pubblicate le ricerche dì Hill è il seguente: 
On the Pari of the Motion of the Lunar Periyée which ù a Function of the Mean Motions of the 
