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Hill dunque considera il problema ristretto, scegliendo l'origine degli assi 
nel corpo di massa più piccola m, e l'asse x diretto verso il secondo corpo e 
studia, supponendo la massa del primo assai piccola rispetto al secondo, il 
moto relativo del planetoide in vicinanza del corpo in,, stabilendo il sistema di 
equazioni cartesiane, ora conosciute col nome di equazioni canonicbe di Hill, 
nei secondi membri delle quali figura sempre la reciproca di una distanza, 
mentre i primi contengono linearmente le derivate prime e seconde delle coor- 
dinate relative del planetoide. La considerazione dell'integrale di Jacobi con- 
duce Hill a discutere la superficie di velocità nulla, che separa quelle porzioni 
di spazio nelle quali la velocità è reale da quelle in cui è immaginaria. Nel 
caso del moto piano del planetoide, basta considerare la intersezione della su- 
perfìcie col piano xg; che è una curva algebrica di sesto ordine simmetrica 
rispetto agli assi mobili con due asintoti rettilinei. Hill traccia una tal curva, 
detta curva limile di Hill, per alcuni valori della costante dell' integrale di Ja- 
cobi u7 ). 
Per valori sufficientemente grandi di questa costante, la curva presenta la 
forma di un ovale intorno al centro degli assi e inoltre consta di due rami sim- 
metrici con asintoti paralleli alle g- la velocità è reale per punti situati entro 
l'ovale e all'esterno dei suoi rami infiniti (cioè tra i rami stessi e gii asintoti); 
è immaginaria nella porzione di piano tra l'ovale e i rami infiniti. Quindi se il 
pianetoide si trova in uri dato istante dentro l'ovale, vi resterà sempre ed il 
suo raggio vettore ha un limite superiore; si può dire che il moto è stabile; 
se invece si trova in uno degli spazi concavi dei rami infiniti, esso non potrà 
passare nell'altro ed il suo raggio vettore ha un limite inferiore. 
Col decrescere della costante, l'ovale e i rami infiniti si avvicinano; e 
giunge un istante in cui si incontreranno, e precisamente in due punti dell'asse 
delle x in cui velocità e forza sono nulli. Questi punti sono i due centri di 
Sun and Moon [Cambridge, Mass., John Wilson a. So., pag. 28 (1877j; ristampata poscia con 
qualche aggiunta in Acta Mathom., t. 8, pp. 1-36 (1886); Collected Mathem. Works, v. 1, pp. 
243-270 (1905)]. 
liesearche» in the Lunar Theory [American Journal of Mathem., v. 1, pp. 6-26, 129-147, 245-260 
(1878); Collected Mathem. Works, v. 1, pp. 284-335]. 
Nel primo volume delle Collected Mathem. Works, pp. VII-XVIII, il Poincaré ha fatto una 
lucida e profonda analisi di tutta l'opera di Hill. Si può anche consultare: Address delivered by the 
Preaident, Mr. J. W. L. Glaùher, on presenting the Gold Medal of the Society to Mr. G. W. Hill [Monthly 
Notices of the R. Astronomical Society, v. 47, pp. 203-220 (1887)]; ed il citato rapporto del 
Newcomh della nota Nel rendere brevemente conto dell'opera di Hill, cominceremo dalla 
memoria del 1878. 
UT j La discussione delle superficie di velocità nulla, fatta da Poincaré nelle Méthodes noa- 
relleu, t. 3, p. 358, è stata approfondita con eleganti considerazioni geometriche da L. Picart: 
JJincussion de» surfaces de niveau dans le problèiue restreint [Bull. Astr., t. 20, pp. 401-409 (1903)]. 
11 sig. W. Krassxow, Ueber xingulure Aufosungen der Dijfferentialgleichungen der yeocentrischen Mond- 
bahn [Astr. Nach. , Bd. 158, pp. 65-74 (1902); la memoria è sunto di un lavoro pubblicato in 
russo. Warschau, 1902], ha riattaccato lo studio della curva di Hill con quello delle soluzioni 
singolari dell'equazione differenziale della traiettoria della luna. 
