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librazione cui corrispondono due soluzioni rigorose del problema (soluzione 
di Euleb ). 
Finalmente per valori ancor più piccoli della costante, la curva non taglia 
più l'asse delle x '**). 
Dopo questa discussione, Hill cerca di soddisfare alle equazioni differen- 
ziali del moto con valori per x ed y espressi da serie periodiche: ossia cerca 
(sempre in vicinanza di m t ) delle soluzioni periodiche del problema; precisa- 
mente quelle che in un determinato istante tagliano ad angolo retto l'asse x 
e alla categoria delle quali appartengono quelle che, dopo un giro intorno m„ 
ritornano su se stesse; esse dipendono da due anziché da quattro costanti. La 
ricerca dei coefficienti delle serie è una delle parti più eleganti e in cui Hill 
ha spiegato una grande abilità analitica ; essa dipende dalla risoluzione di in- 
finite equazioni di secondo grado; colla ulteriore limitazione di supporre molto 
piccolo il rapporto m dei moti medi, riuscì a trovare i coefficienti delle serie, 
secondo potenze di m, con legge ricorrente semplice e che permette di asse- 
gnarne i valori numerici con quella approssimazione che si vuole; inoltre so- 
stituendo ad /n una espressione più conveniente, ottenne sviluppi convergen- 
tissimi e per le coordinate e per la costante di Jacobi, e quindi il mezzo di 
tracciare le traiettorie chiuse con una esattezza e rapidità non consentita da 
nessuna delle precedenti teorie '**). 
Ad Hill spetta dunque il merito di aver trovato il primo esempio di una 
soluzione periodica del problema ristretto e in vicinanza delle masse: ma di una 
importanza ben maggiore di quelle di Euler e Lagrange pel caso generale; e 
di aver quindi potuto studiare la forma della traiettoria relativa col variare 
della costante di Jacobi. 
Quando tale costante ha valori abbastanza grandi, la traiettoria ha appros- 
simativamente la forma di una ellissi, da cui si allontana sempre più col de- 
crescere della costante; si raggiunge finalmente un valore in cui la curva pre- 
senta due regressi sull'asse delle ;/ e in cui la velocità è nulla; si giunge cioè, 
come dice Hill, alla luna di massima lunazione fmoon of maximum lunationj. 
Hill ha creduto che non si potesse andar oltre: ma J. C. Adams e poi Poincaré 
ik8 ) Notevoli ed eleganti considerazioni sulle curve di velocità nulla, per rispetto alle con- 
dizioni di stabilità, si devono al BoHLIH, Ueber die Bedeutung des Principi der lebendigen Kraft fiir 
die Froge von der Stabilititi dynamischer Sy steme [Acta Mathem., t. 10, pp. 109-130 (1887)], con 
applicazione al problema dei due corpi; al problema di Eller dei due centri fissi; al problema 
ristretto e a quel caso speciale del problema dei tre corpi studiato poscia da Gorjatschekf e 
da Woroxetz; vedi note 76 ;, 61 ). Nel problema ristretto si possono dare alla costante dell'inte- 
grale di Jacobi dei valori tali , che il moto del planetoide sia stabile in vicinanza dei due centri 
di attrazione. 
Considerazioni di maggior generalità ed importanza sono dovute al Poincaré, Mémoire sur 
les courbes définies par une équation dijférentielle [Journal de Mathém., s. 3, t. 7, pp. 375-422 (1881); 
t. 8, pp. 251-296 (1882)]; e più specialmente in: Sur les courbes définies par le» équation» diféren- 
tielles [Ibid., s. 4, t. 1, pp. 167-244 (1885); t. 2, pp. 151-217 (1886)]. 
Una chiara esposizione di questa parte dei lavori di Hill trovasi nel libro dello Char- 
lier: Die Mechanilc des Himmels, Bd. 2, pp. 137-172. 
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