— 50 — 
dimostrarono invece (valendosi opportunamente di sviluppi in serie di potenze), 
che la classe di satelliti considerata da Hill può essere ancora prolungata al 
di là della luna di massima lunazione, ottenendo delle traiettorie con dei cappi 
simmetrici rispetto alle y 13 °). 
Nella seconda memoria, Hill ha abhandonato la considerazione della so- 
lita ellissi kepleriana, di cui spesso nei suoi lavori ha mostrato gli svantaggi 131 ); 
e supposto di aver determinato un'orbita periodica, passa da questa, col me- 
todo delle equazioni alle variazioni, ad una infinitamente prossima, tenendo 
ora conto non più dei termini dipendenti da m, ma di quelli dipendenti dalla 
prima potenza della eccentricità della luna. Il problema della ricerca dello 
spostamento normale da eseguirsi in tale passaggio, vien fatto dipendere dalla 
integrazione di una equazione differenziale della forma : 
dove t è la distanza angolare media dei due corpi , e 0 una funzione svilup- 
pata in serie di coseni di multipli di 2t. 
La soluzione di questa equazione differenziale del 2° ordine a coefficienti 
periodici, può essere rappresentata dal prodotto di una funzione periodica per 
un esponenziale; si tratta quindi di determinare l'esponente c dell'esponenziale 
(in relazione molto semplice col moto medio del perigeo) e i coefficienti dei 
termini della funzione periodica. La sostituzione diretta conduce subito a sta- 
bilire un sistema di infinite equazioni lineari, aventi per incognite appunto 
tali coefficienti, e i coefficienti delle quali dipendono da c. Hill ha avuto l'ar- 
dire, come ben disse il Poincaré, di porre a zero il determinante infinito di 
queste infinite equazioni e di ottenere così l'equazione determinante della in- 
cognita c. Il confronto fra le proprietà di questa equazione e quelle di una 
nota e semplice equazione trigonometrica, conduce Hill a dare all'equazione 
una forma semplice, elegante ed opportuna per il calcolo numerico, senza che 
tuttavia egli si sia preccupato di dare la dimostrazione rigorosa dei risultati 
ottenuti, della convergenza del determinante infinito, ecc. L'applicazione nu- 
merica conduce, dopo due o tre approssimazioni, ad un valore per c con quin- 
dici decimali esatte, e quindi al rapporto del moto medio del perigeo lunare 
al moto medio siderale pure con quindici decimali esatte. 
Se si volesse applicare la serie di Delaunay estesa fino al termine colla 
nona potenza di ni, non si otterrebbero che quattro o cinque decimali esatte; 
15 °) Les Méthodes nouvelles, t. 1, pp. 106-109. Il sig. Elis Strcìmgren, Ueber Spitzen und Schleifen 
im Problem reslreint [Astr. Nach., Bd. 174, pp. 33-46 (1907)], dopo aver osservato con lo Chau- 
likr che possono presentarsi cappi anche sull'asse x, ha dimostrato che, eccettuati alcuni punti, 
si possono presentare dei cappi in tutto il piano sia nel moto assoluto che in quello relativo. 1 
vertici poi stanno sulla curva di velocità nulla. 
1 ') Il più grave di questi è che la long, media soffre una perturbazione media proporzio- 
nale al tempo, che per Saturno è di 110" all'anno. 
