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un nuovo e meraviglioso impulso a tutti i problemi della Meccanica celeste, è 
senza dubbio Poincaré. I suoi studi sulle soluzioni periodiche, iniziati nel 1883, 
furono noti nelle loro linee essenziali nella più volte citata memoria di Stock- 
bolm nel 1888; ricevettero forma migliore e una maggiore estensione nelle 
Méthodes nouvelles, pubblicate dal 1892 al 1899 e poi in successivi lavori. Se è 
vero che Poincaré non ha risolto il problema dei tre corpi (nel senso che ab- 
biamo dato a questa parola nel capitolo precedente), è però certo che, ripe- 
tendo una sua espressione. « par la seule brèche par où nous puissions essaijer 
de pénétrer dam une place jusqu'ici reputée ìnabordable », egli ha gettato sprazzi 
di luce vivissima sul classico problema ; egli ha fondato teorie nuove, altre ne 
ha approfondite, come quella degli invarianti integrali, delle soluzioni perio- 
diche, ed asintotiche; delle equazioni alle variazioni, esponenti caratteristici; 
tutti elementi di cui è tessuta la tela delle Méthodes nouvelles. 
Tenteremo di dare un cenno di un'opera così fondamentale 158 ). 
Consideriamo un sistema di n equazioni differenziali di primo ordine ri- 
solute rispetto alle derivate prime, che definiscono il moto di un punto in uno 
spazio n llo \ i secondi membri di queste equazioni sono funzioni uniformi delle 
coordinate del punto, del tempo e contengono inoltre un parametro p. Nel pro- 
blema ristretto, questo parametro sarà una delle due masse finite, 1' altra es- 
sendo 1 — |i; in un problema alquanto più generale, due delle tre masse sa- 
ranno rappresentate da a 2 }i e «ji; ecc. Se i secondi membri non contengono 
esplicitamente il tempo, allora una soluzione particolare del sistema, tale che 
dopo un tempo T le coordinate riprendono gli stessi valori iniziali e quindi 
(essendo i valori iniziali all'atto arbitrari) riprendono gli stessi valori, dopo 
un tempo T, dicesi una soluzione periodica. 
Se i secondi membri contengono il tempo, allora essi pure debbono essere 
periodici rispetto al tempo; e si può sempre supporre che il periodo sia 2rc. 
Supponiamo ora che, o colla diretta integrazione o con qualche altro mezzo, 
si sia potuto accertare che per p. = 0 il sistema ammetta una o più soluzioni 
periodiche; si domanda se e sotto quali condizioni le stesse equazioni ammet- 
tono pure soluzioni periodiche per p sufficientemente piccolo, ma diverso 
da zero. 
Poincaré dimostra che si possono, sotto certe condizioni, scegliere i valori 
di ji in modo che le equazioni ammettano soluzioni periodiche: e tali solu- 
IS8 ) Sur certaines solutions du problème des trois corps [Comp. rendus, t. 97, pp. 251-252 (1883); 
Bull. astr. , t. 1, pp. 65-74 (1884)]. Abbiamo già più volte citato la memoria degli Acta, e le 
Méthodes nouvelles. 
Lo stesso Poincaré ha dato un breve 9iinto delle sue ricerche: Sur le problème des trois corps 
[Bull, astr., t. 8, pp. 12-24 (1891)]; l'opera sua matematico-astronomica è stata profondamente 
esaminata da: V. Volterra, Henri Poincaré: L'oeuvre mathématique [La Revue du Mois, t. 15, 
pp. 129-154 (1913)]; J. Hadamard, Henri Poincaré et le problème des trois corps [Ibid., t. 16, pp. 
385-418 (1913)]. 
Le ricerche di Poincaré sul problema dei tre corpi, sostanzialmente contenute nella memoria 
premiata, furono coordinate ed estese nelle Méthodes nouvelles; a queste quindi intendiamo riferirci 
nel breve sunto che tentiamo di fare. 
