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zioni, col variare di ja, scompariscono a coppie allo stesso modo delle radici 
reali delle equazioni algebriche lM ). 
Nel problema dei tre corpi siano m, , Ojji , a,ti le tre masse; se |* = 0, cioè 
se riguardiamo come nulle le due masse più piccole e fìssa iiii, ognuno dei 
planetoidi descriverà intorno alla massa /n, una ellissi kepleriana. Supponiamo 
invece che essi descrivano due cerchi, nello stesso piano, con i moti medi 
n'>n; orbene, riferendo il moto a due assi mobili col centro in m, e velocità 
angolare n, le coordinate dei planetoidi saranno funzioni periodiche rispetto 
al tempo e con un certo periodo; cioè per p. = 0 abbiamo una soluzione pe- 
riodica. Quindi si potrà decidere se il problema ammetterà soluzioni periodi- 
che per valori piccoli di ja.-- 
11 Poincaré è quindi condotto a distinguere tre specie di soluzioni perio- 
diche: quelle in cui le inclinazioni sono nulle e le eccentricità molto piccole 
(l a specie), oppure finite ( 2 a specie) e quelle in cui le inclinazioni non sono 
nulle ( 3 a specie); soluzioni che ha estesamente studiate, dando i metodi per 
determinarle, discutendo i casi di eccezione ed accennando a qualcuna delle 
più importanti applicazioni. Così, ad es., per un valore determinato della co- 
stante delle forze vive e per valori piccoli di fi, il problema dei tre corpi am- 
metterà una quadrupla infinità di soluzioni periodiche di prima specie col pe- 
riodo -, — — ; a meno che non sia n= — n'; oppure il rapporto dei moti medi 
sia quello di due interi consecutivi, come all' incirca accade per alcuni dei sa- 
telliti di Saturno (Iperione-Titano ; Encelado-Dione). 
La considerazione della poca probabilità di realizzare le condizioni iniziali 
del moto in guisa da ottenere soluzioni periodiche, fa sorgere l'idea di deter- 
minare soluzioni che differiscano dalle periodiche infinitamente poco; e si è 
quindi condotti nel modo più naturale al concetto di equazioni alle variazioni 
e a quello di esponenti caratteristici, di capitale importanza. Partendo da una 
soluzione (generatrice) del solito sistema, e passando a quella infinitamente 
prossima, si trova subito che gli incrementi delle coordinate del punto, in prima 
approssimazione, soddisfano ad un sistema di equazioni differenziali lineari e 
a coefficienti periodici rispetto al tempo (equazioni alle variazioni). La forma 
di un integrale particolare di un tal sistema è ben nota: ognuno degli in- 
crementi essendo eguale al prodotto di un esponenziale e 1 ' per una funzione 
periodica di t: le a (costanti) sono appunto dette esponenti caratteristici, e 
sono determinati da una notissima equazione algebrica in e -1 '. Se le a sono 
immaginarie pure, allora il modulo di e*' è l'unità; gli incrementi delle 
coordinate resteranno sempre finiti per qualunque valore del tempo e la solu- 
zione periodica generatrice dicesi stabile: non è più così se le « sono reali o 
complesse. 
Un caso di eccezione, pure esaminato da Poincaré, in cui è nullo Phessiano di un certo 
sistema, è stato approfondito dal sig. Kohiì, Sur le calcul direct des solutìons pèriodique» dans le 
problème des trois corps f Òfversigt af X. Sw. Ak. Forhandl., Bd. 52, pp. 215-222 (1895) j; egli 
ha dimostrato che anche in tal caso il procedimento di Poincaré è applicabile. 
