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È noto poi quali modificazioni intervengono nella forma degli integrali se 
l'equazione detta è a radici multiple. 
Questa teoria permette subito al Poincaré di precisare meglio le condizioni 
per l'esistenza di una soluzione periodica di un problema dinamico per valori 
piccoli di fi, quando essa esiste per p. = 0; basta che nessuno degli esponenti 
caratteristici corrispondenti alla soluzione periodica generatrice sia nullo. 
Nel caso poi che il tempo non entri esplicitamente nelle equazioni diffe- 
renziali del moto, un esponente caratteristico è nullo; orbene se uno solo è 
nullo, esisterà ancora una soluzione periodica per piccoli valori di |i. Si di- 
mostra ancora che se le equazioni ammettono p integrali uniformi indipen- 
denti dal tempo, /; esponenti caratteristici di una qualunque soluzione perio- 
dica sono nulli — meno un caso eccezionale — se il tempo figura esplicitamente; 
p -f- 1 se il tempo non figura esplicitamente nelle equazioni del moto. 
Poincaré fa eleganti applicazioni alle equazioni canoniche del moto, in cui 
gli esponenti caratteristici sono due a due eguali e di segno contrario, colle- 
gandone la teoria a quella delle sostituzioni lineari; dà il mezzo di sviluppare 
in serie tali esponenti e di calcolarne almeno i primi termini: e per riguardo 
al problema dei tre corpi dimostra che le soluzioni periodiche hanno sempre 
due, e non più di due, esponenti caratteristici nulli. 
Discute quindi, valendosi dei teoremi accennati, l? condizioni di esistenza 
degli integrali uniformi delle equazioni canoniche nella ipotesi che la funzione 
caratteristica sia sviluppabile in serie ordinata secondo le potenze intere del 
parametro p-, giungendo, pel caso particolare dei tre corpi (problema ristretto), 
al sorprendente risultato che già accennammo 16 °). 
Il concetto di soluzioni asintotiche si riconnette con quello di equazioni 
alle variazioni di una soluzione periodica. Supponiamo di non volerci arre- 
stare alla prima approssimazione e di considerare quindi le equazioni rigorose 
cui soddisfano gl'incrementi: a queste si può cercare di soddisfare con inte- 
grali di forma analoga a quella delle equazioni lineari approssimate, cioè con 
la somma di n funzioni periodiche rispetto al tempo (le stesse che figuravano 
nella soluzione precedente) moltiplicate per altrettante funzioni incognite sod- 
disfacenti a certe equazioni differenziali. E di queste se ne tenta la integra- 
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zione per serie contenenti l'esponenziale — (p essendo una funzione degli 
esponenti caratteristici). Tali serie sono in generale divergenti : ma se un certo 
numero degli esponenti caratteristici ha la parte reale positiva, annullando, 
nelle serie esprimenti la soluzione, i coefficienti corrispondenti a quelli degli 
esponenti con parte reale negativa o nulla, si può fare in modo che la serie 
resti convergente e di più quando t = — oc la soluzione si avvicina, asintotica- 
mente, alla soluzione periodica originale; e parimenti si può operare per quelli 
esponenti con parte reale positiva, ottenendo una soluzione che si avvicina 
asintoticamente per / = — x a quella stessa periodica. Ecco dunque definite le 
soluzioni asintotiche. 
I8 °) Vedi Cap. IV, note 90 ), SI ). 
