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Provata l'esistenza di queste soluzioni asintotiche, Poincaré dimostra del 
pari l'esistenza di soluzioni doppiamente asintotiche, rappresentate cioè da serie 
del primo tipo ora detto per t < 0, e da quelle di secondo tipo per f >0; e che 
studia anche pel caso del problema ristretto. L'orbita corrispondente dapprima 
poco diversa da quella di una soluzione periodica, se ne allontana poco a poco 
e dopo torna nuovamente ad avvicinarsi indefinitamente e asintoticamente. 
Delle ricerche di Poincaré sulla divergenza delle serie adoperate nelle so- 
luzioni del problema dei tre corpi ; della profonda analisi cui ha sottoposto 
tutti i metodi escogitati dai suoi predecessori, abbiamo già detto in breve 161 ). 
Finalmente un'altra teoria, quasi per intero fondata da Poincaré, è quella 
degli invarianti integrali. 
Riferendoci sempre al moto di un punto in uno spazio a ;i dimensioni, 
definito dal solito sistema di equazioni differenziali , si consideri un insieme 
di punti formanti al tempo / una varietà a p^n dimensioni. Se l'integrale 
di una certa funzione di tali punti esteso a questa varietà ha lo stesso valore 
qualunque sia il tempo, esso è detto invariante integrale. Poincaré, prendendo 
le mosse da semplici e ben note analogie idrodinamiche, dà il mezzo di for- 
mare questi invarianti; ne stabilisce l'intimo nesso colla teoria delle equazioni 
alle variazioni; mostra come la teoria dell'ultimo moltiplicatore di Jacori si 
riduce alla ricerca di un invariante integrale dello stesso ordine del sistema 
differenziale. Lo studio di alcuni invarianti integrali delle equazioni canoniche 
del moto di un sistema materiale permette infine di approfondire e di porre 
sotto nuova luce i legami tra le nuove e le vecchie teorie di Jacori sulla tra- 
sformazione dei sistemi canonici, la teoria dei gruppi di trasformazione, ecc. 
E si studiano ancora, in relazione agli esponenti caratteristici delle soluzioni 
periodiche, gli invarianti integrali del problema dei tre corpi. 
Il Poincaré ha anche mostrato l'uso che di tali invarianti si può fare per 
la verifica di calcoli faticosi relativi a sviluppi per serie trigonometriche, e la 
loro relazione colle soluzioni asintotiche; ma l'applicazione più originale e più 
importante è quella relativa alle condizioni di stabilità del moto. 
Riferendosi alle ricerche di Poisson sulla invariabilità dei grandi assi, quando 
si trascurano i termini coi quadrati delle masse, si può osservare (in perfetto 
accordo colle ricerche di cui abbiamo già discorso "*)) che ciò in fondo signi- 
fica che quando si tenga conto dei cubi delle masse, comparisce un termine 
periodico proporzionale al tempo. 1 grandi assi non hanno più stabilità com- 
pleta nel senso di Lagrange; cioè i grandi assi non oscillano più entro limiti 
finiti, ma si può soltanto dire che essi riprenderanno una infinità di volte 
valori assai prossimi a quelli iniziali. In generale, quando un sistema dina- 
mico ripassa, nel corso del suo movimento, una infinità di volte vicino quanto 
si vuole alla posizione iniziale — pur non sapendo se i corpi del sistema pos- 
sano urtarsi o allontanarsi indefinitamente — si dice che esso ha stabilità alla 
Poisson. 
Vedi Cap. V, note ,18 ), ,10 ). 
,6J ) Vedi Cap. V, note a ,00 ). 
