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Ora le ricerche di Hill e Bohlin 16!1 ) avevano già mostrato che nel pro- 
blema ristretto può aversi stabilità nel senso di Lagrange; quelle di Painlevé, 
Levi-Civita, Bisconcini e Sundman l ") ci hanno informato sulle condizioni di 
urto pel problema ristretto e per quello generale dei tre corpi. 
Ora, pel problema ristretto, il Poincaré ha fatto un nuovo passo: egli ha 
infatti dimostrato che il problema ristretto ha stabilità alla Poisson. Conside- 
rando infatti il solito sistema di equazioni differenziali, egli può assegnare (colla 
teoria dell'ultimo moltiplicatore) un invariante integrale finito dello stesso 
ordine del sistema ed esteso ad un volume V; tale volume si può scegliere in 
modo che se un punto si trova in esso all'origine del moto, vi resterà inde- 
finitamente. Nella ipotesi poi che l'invariante sia positivo, si può dimostrare 
che (a meno di circostanze iniziali eccezionali) scelto in V un altro campo U 0 , 
si può in infiniti modi scegliere la posizione del punto per modo ch'esso at- 
traversi una infinità di volte il campo U 0 e che quindi vi sia stabilità alla 
Poissox. Basandosi infine sulla discussione delle curve di velocità nulla, più 
generale di quella di Hill e dovuta a Darwin im ) egli prova che le precedenti 
considerazioni sono applicabili al problema ristretto: donde il teorema enun- 
ciato. Si possono anche dare le condizioni perchè vi sia stabilità per una legge 
di attrazione più generale di quella di Newton; ma le considerazioni stesse 
non sono disgraziatamente applicabili al caso generale dei tre corpi. 
Finalmente Poincaré ha studiato (dopo le ricerche di Darwin) le soluzioni 
periodiche infinitamente vicine ad una data e di stesso periodo; la loro sta- 
bilità, ecc. 
16 ') Vedi nota " 8 ). 
m ) Cap. V; note m ) a l31 ). Un importante contributo alle questioni di stabilità è stato ar- 
recato dal Lkvi-Civita, Sur l'instabilità de certaines substitutions [Coinp. rendus, t. 131, pp. 103-106 
(1900)]; Sur V instabilité de certaines substitutions périodiques [Ibid. , pp. 170-173]; Sur le problème 
restreint des trois corps [Ibid., pp. 236-239]; Sopra alcuni criteri di instabilità [Annali di Matem., 
s. 3, t. 5, pp. 221-308 (1901)]. Egli ha studiato alcune trasformazioni puntuali, stabilendo per esse 
un criterio di stabilità: una siffatta trasformazione è stabile, se uno almeno dei suoi moltiplica- 
tori ha modulo diverso da uno; ed ha quindi trattato della stabilità delle soluzioni periodiche 
del solito sistema differenziale, dimostrando che una soluzione periodica è stabile se uno almeno 
dei suoi esponenti caratteristici ha parte reale non nulla. Ha del pari studiato diversi tipi di 
sistemi di secondo ordine, e poi i sistemi canonici, pure di 2° ordine, in cui due esponenti ca- 
ratteristici sono nulli e altri due eguali e di segno contrario e dà un criterio per la instabilità 
delle soluzioni periodiche. Applicando i risultati generali conseguiti al problema ristretto, ha ri- 
cercato le soluzioni periodiche prossime ad un moto circolare uniforme e ha dimostrato la in- 
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stabilità di quelle il cui moto medio è vicino ad un numero della torma 1 -| , mettendo in 
A 
rilievo la esistenza di zone di instabilità che si addensano intorno all'orbita del pianeta (Giove). 
Tre asteroidi si trovano appunto in queste condizioni. 
Un complemento a queste ricerche è la memoria del sig. R. ClGALA, So2)ra un criterio di 
instabilità [Annali di Matem., s. 3, t. 11, pp. 67-79 (1904)]. Altre considerazioni su stabilità di 
traiettorie circolari trovansi in E. Zapp, Unlersuchung eines speziellen Falle» des Drei- und Vierkòr~ 
perproblems. Inaug. Diss. 86 pagine, Miinchen, 1908. 
16s ) Vedi nota 184 ). 
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