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L'origine è sempre il eentro di massa dei due corpi (supposto fisso) di cui 
uno S — il Sole — ha massa p; l'altro J — Giove — ha massa uno, la distanza 
è scelta pure eguale ad uno; la velocità angolare costante dei due corpi è eguale 
ad n. Le equazioni cartesiane del moto relativo del planetoide si possono porre 
sotto una forma assai elegante e simmetrica, e inoltre Darwin fa una accurata 
analisi delle curve di velocità nulla (curva critica) le quali son tracciate con 
successive risoluzioni di equazioni cubiche. 
Per valori molto grandi della costante di Jàcobi (Darwin comincia da 
h = 40,50) la curva di velocità nulla consta di tre rami chiusi, tre ovali quasi 
circolari: uno, a, molto piccolo intorno ad S; un secondo, intorno ad J, e 
finalmente un terzo, y, che abbraccia i primi due. Col decrescere di h, i due 
rami « e p si ingrandiscono e viene un momento in cui per un certo valore 
/?, della costante (h t = 40,18) essi si uniscono, sull'asse x, in un punto L,, che 
è precisamente uno dei centri di librazione (precisamente quello interno al 
segmento SJ), formando una specie di lemniscata. Per valori più piccoli di h l , 
tale curva lemniscata, che è sempre separata dal ramo y, assume la forma di 
un orologio a polvere e si ha un certo valore k t = 38.88 in cui essa si con- 
giunge colla ovale esterna y nel centro L, di librazione (precisamente quello 
esterno al segmento SJ e dalla parte di .1): seguitando h a decrescere la forma 
della curva assume l'aspetto di ferro di cavallo e per un valore conveniente 
A, = 34,91, presenta un punto doppio nel terzo centro di librazione L 3 (esterno 
al segmento SJ e dalla parte di S); continuando ancora a decrescere la curva 
impiccolisce lino a che si riduce a due punti (per h — 33) L 4 , L. che sono i 
vertici dei due triangoli equilateri descritti sopra SJ e sono gli altri due centri 
di librazione. Da questi risultati generali discendono agevolmente quelli del 
caso di Hill. La considerazione di queste curve è utile per decidere, in alcuni 
casi, della stabilità del moto del planetoide 18iS ). 
v. 4, pp. 1-113 (1911)]. Darwin chiama punti critici quelli che, con Gyldén, chiamansi ora ge- 
neralmente centri di librazione; di più suppone ji=10. Nel trattato dello Charlier, Mechanik 
des Himmels, Bd 2, pp. 115, è invece supposto pi = 0,1. Per p. =: 1 ; 320000 si ha all' incirca il 
caso della terra e della luna e per p. — 1 il caso di Burrau. La posizione dei centri di libra- 
zione in questi due casi è pure calcolata dallo Charlier. 
185 ) G. Kobb, Sur un cwa d' instabilità possible [Bull, astr., t. 18, pp. 219-221 (1901)] ha os- 
servato che se /t 0 è il valore della costante di Jacobi in cui si uniscono le due ovali a e {3; 
h t quello in cui la interna si unisce all'esterna, si ha stabilità dell'orbita per A > h 0 (tale è il 
caso del pianetino Hilrla (153) ) ; mentre non si può nulla affermare per h i <^ h<^ h 0 (come nel caso 
di Thule (279)); ed ha concluso che è stabile il moto del 7° e instabile quello dell' 8° satellite di 
Giove; ma ciò non è esatto. Vedi nota 10 °). Posteriormente, Sur la stabilite des orbite* des nouveaux 
satellite» de Jupiter [Ibid., t. 25, pp. 411-415 (1908)] ha considerato il moto del pianetoide nello 
spazio e la superficie di velocità nulla, partendo sempre dall'integrale di Jacobi, e che per valori 
assai grandi di h consta di due superficie chiuse. Per Giove e Sole ha calcolato il più piccolo va- 
lore di h che corrisponde a superficie chiuse e ne ha tatto applicazione allo studio della stabilità 
del 7° e 8° satellite. Si può anche consultare sullo stesso argomento: F. R. Moulton, The Limiti 
of Temporary Stability of Satellite Motion witlt an Application to the Question of the Existence of an 
Unseen Body in the Binary System F. 70 Ophiuchi [Astr. Journal, v. 20, pp. 33-37 (1907)]. 
