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Poscia Darwin, servendosi del metodo proposto da Lord Kelvin 186 ), cal- 
cola con formule di interpolazione e con quadrature meccaniche, le orbite cor- 
rispondenti ad una serie di valori della costante h e ne studia, cosa impor- 
tante e ben più difficile, col metodo della variazione infinitesima dell'orbita, 
il loro grado di stabilità. 
È in questo £ appunto che Darwin sviluppa e chiarisce molti punti della 
memoria di Hill; dimostra infatti che Io spostamenlo $p, lungo la normale di 
un'orbita periodica, soddisfa alla equazione di Hill, che Darwin trasforma as- 
sumendo l'arco per variabile indipendente. Valendosi poi dello stesso metodo 
di Hill, trova l'equazione determinante e l'esponente c del solito esponenziale, 
e dalla sua realtà o meno può decidere della periodicità o no di 8/;, e quindi 
della stabilità o della instabilità dell'orbita. 
Considerando soltanto orbite la cui rivoluzione accade, come quella di J, 
in senso diretto, ecco i risultati cui è giunto Darwin per i vari valori della 
costante h di Jacobi. 
/i=r40; si ha un pianeta A che percorre un'orbita periodica stabile in- 
torno ad S, ma che non avvolge J; poi un satellite intorno J pure stabile e 
finalmente un satellite a oscillante intorno al centro di librazione L,, instabile 
e mobile con rivoluzione retrograda. 
/i = 39,5; si ha ancora un pianeta stabile A (con minor stabilità del pre- 
cedente); un satellite oscillante a instabile e la cui traiettoria diviene sempre 
più ampia col decrescere di h ; un altro satellite A instabile la cui traiettoria, 
col decrescer di h, tende ad avvicinarsi ad S. 
/i = 39,3; compariscono due altri satelliti BeC, rispettivamente instabile 
e stabile: mentre il satellite A ha per traiettoria una curva a forma di otto, 
di cui un cappio avvolge .1 ed un altro il centro di librazione L, tra S ed J. 
h = 39; si presentano gli stessi satelliti; le traiettorie di B e di C si sono 
allontanate e C è ancora stabile. 
/t = 38,5 ; si ha in più un altro satellite oscillante intorno al centro di 
librazione L,; la traiettoria di C ha la forma di campana; tutte le traiettorie 
sono instabili. 
Finalmente per h = 38 abbiamo le stesse particolarità; la traiettoria di 
C sembra presentare cappi simmetrici. 
E fin qui si arresta, in questa memoria del 1897, il faticoso lavoro di Darwin, 
che reca un prezioso 187 ) contributo alla teoria delle orbite periodiche e costi- 
tuisce una meravigliosa illustrazione delle teorie di Poincaré. 
m ) Vedi nota lM ). 
i87 ) E. StkòMGRBn , Ueber mekanische Integration und deren Verwendung fiir numerische Rechnxm- 
gen auf dem Gebiete des Dreikòrper-Problems [Òfversigt af. K. Sv. Vetens.-Ak. Forhandlin., 1900, 
pp. 443^454]. ha cominciato ad esporre alcuue considerazioni generali sulle quadrature meccaniche 
e sulla loro razionale applicazione ai problemi di v. Haerdtl, Burrau e Darwin, senza fare 
ipotesi speciali sulle masse e sulle distanze dei corpi. Ma egli non ha pubblicato, ch'io sappia, 
altro che la parte riguardante il problema dei due corpi per istituire un necessario ed utile con- 
fronto tra le note formule e quelle ottenute con le quadrature meccaniche. 
Ha tuttavia applicato il metodo numerico della integrazione meccanica allo studio di un caso 
