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stabilità, la quale sembra poter condurre ad una spiegazione storica della legge 
di Bode e delle lacune che presenta la serie dei piccoli pianeti m ). 
Alla fine del nuovo lavoro, Darwin osserva che ancora molto resta a sco- 
prire su questo argomento delle orbite periodiche; quasi ad invitare i mate- 
matici a non essere allontanati da un tale studio dai calcoli prolissi e faticosi, 
studio che è sempre promettente di larga messe di risultati. I geometri ame- 
ricani, con a capo il Moul.ton, come vedremo, hanno brillantemente risposto 
all'invito di Darwin. 
Uno studio ben più semplice del precedente e che si è proseguito con grande 
ardore e con pieno successo, è stato quello delle orbite periodiche ed asinto- 
tiche intorno ai centri di nitrazione. Iniziato già da Gyldén e Moulton 1M ), poi 
da Darwin e Hough nei lavori or ora esaminati, ha costituito oggetto di accu- 
rate ricerche da parte di C. V. L. Charlieb nel 1900 193 ). 
Metodi ben noti di integrazione di sistemi di equazioni differenziali lineari 
a coefficienti costanti (cui nel caso in esame, limitandosi alla prima approssi- 
mazione, si riducono le equazioni di Hill o di Darwin) fanno dipendere la 
ricerca dalla discussione di una biquadratica avente due radici reali e due im- 
maginarie pure; si conclude che esistono soluzioni periodiche per qualunque 
valore di p, in prossimità dei centri L t L f , L s ; mentre esistono nell' intorno di 
L 4 ,L, soltanto se |i< 0,0401. 
Lo Charlier ha considerato accuratamente queste orbite e dato il mezzo 
rapido per tracciarle, per vari valori di p; esse sono, in prima approssimazione 
delle ellissi; quelle intorno 1^ , L 2 , L, hanno la stessa eccentricità, ecc. 
Il sig. E. O. Lovett, a complemento di queste ricerche, ha anche conside- 
rato (oltre i soliti cinque) anche i quattro centri immaginari di librazione ed 
ha provato che per p. positivo e minor di uno, non esistono in loro vicinanza 
orbite periodiche; mentre possono esistere per altri valori di p. lM ). 
Eleganti considerazioni dirette sulle equazioni cui conduce il metodo clas- 
sico seguito dallo Charlier, e uno studio della superficie z = fì (ft rappresenta 
l'integrale dell'energia relativa) sono dovute al signor H. C. Plummer, il quale 
sfrutta ingegnosamente i valori dei raggi di curvatura di tale superfìcie per la 
interpretazione delle condizioni di realtà delle radici delle note equazioni e 
poscia ha spinto l'approssimazione ai termini di secondo ordine; ha quindi 
potuto dimostrare che le orbite di tali pianeti oscillanti sono tautocrone, e ha 
calcolate le coordinate dei punti delle tre famiglie intorno L,,L S ,L, (l'ultima 
,91 ) W. F. Henkel , Orbites périodiques [The Observatory. A Monthly Review of Astronomy, 
v. 3B, p. 86 (1912)]. 
,M ) Vedi note '*), "). 
iM ) Ori Periodic Orbits [Òfversigt af K. Vetens.-Ak., Bd. 57, pp. 1053-1082 (1900) J. Questo 
lavoro è stato riprodotto, ampliato e perfezionato col sussidio dei lavori del Plummbk, nella Me- 
chanik des Ilimmeh, Bd. 2, pp. 117-137 (1907). La elegante dimostrazione sulle radici della biqua- 
dratica è appunto dovuta al PluMMEH. 
m ) On the periodic Solutions of the Froblem of Three Bodies [Astr. Nach., Bd. 169, pp. 281-286 
(1902)]. 
