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verso da quello del Brown, egli ha accertato (e costruito per alcuni valori della 
costante li dell'energia: 33,50:33,75 e coi soliti laboriosi metodi di integrazione 
meccanica) la esistenza di una nuova classe di soluzioni periodiche, aventi 
un doppio cappio e precisamente quello molto esteso intorno L t si completa 
con un altro descritto in senso inverso intorno .1 e la durata di una rivolu- 
zione compietà supera di molto quella di una rivoluzione di J intorno S. Tali 
orbite però non sembrano stabili, di modo che i pianetini che per poco se ne 
allontanassero, sarebbero finalmente assorbiti da J ì " ì ). 
La teoria delle orbite periodiche ha ricevuto nuovo impulso dai lavori del 
sig. Forest Rav Moulton e dei suoi allievi. 
Abbandonato anzitutto il metodo delle integrazioni meccaniche e serven- 
dosi di sviluppi in serie di potenze, convergenti entro certi limiti, egli ha con- 
siderato da un nuovo punto di vista tutto il vasto problema delle orbite pe- 
riodiche nel problema ristretto, e confermato tutti i risultati ottenuti così fa- 
ticosamente da Darwin, nonché quelli di Hill e di Brown ; ha anche trattato 
il caso in cui il planetoide è molto distante da S e da J, studiando ancor qui 
alcune orbite periodiche m ). In altro notevolissimo lavoro del 1913 egli ha sup- 
posto che i due corpi di massa finita, anziché due cerchi, descrivano due ellissi 
complanari ed ha mostrato le profonde differenze col caso del solito problema 
ristretto; le equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti si trasformano 
ora in altre, pure lineari, ma a coefficienti periodici : le orbite si chiudono dopo 
parecchie rivoluzioni e in vicinanza dei centri di librazione, per ogni periodo 
dato, non vi è più una sola, ma due orbite. Egli ha fatto ancora la ricerca dei 
centri di librazione situati sull'asse x e ha studiate le orbite in vicinanza di 
questi punti: ha studiato le orbite simmetriche, quelle periodiche a due e a 
tre dimensioni m ). 
Lo studio delle orbite chiuse di ejezione e delle relazioni tra le varie fa- 
miglie di orbite periodiche nel problema ristretto, iniziato dal Moulton nel 
1912, è stato alacremente condotto a termine ed il Moulton ha potuto comu- 
nicare i suoi veramente importanti risultati al 5° Congresso dei Matematici a 
Cambridge 203 ). Prendendo le mosse dal caso dei due corpi (di cui uno di massa 
ioi ) On Librating Pianeti and un a Xew Family of Periodic Orbita [Monthly Notices , v. 72, 
pp. 642-668 (1911-1912)]. È posteriore alla pubblicazione del 4° volume delle Collected Papers. 
203 ) A Class of Periodic Solutions of the Problem of Three Bodies with Applications to the Lunar 
Theory [Trans. American Matliem. Society, v. 7, pp. 537-577 (1906)]; A Class of Periodic Orbits 
of Superior Planets [Ibid., v. 13, pp. 96-108 (1912)]. 
' 20k j Periodic Oscillatiny Satellite» in the Problem of Three Bodies [Mathem. Annalen, Bd. 73, 
pp. 441-479 (1913)]. Per molti risultati e sviluppi analitici relativi a questo lavoro, si può con- 
sultare pure: J. R. MOULTON and W. D. Macmillan, On the Solutions of Certain Types of linear 
Diferential Equations with Periodic Coefficients [American Journal of Mathem., v. 33, pp. 63-96 
(1911)]. 
Ì0S ) Closed Orbits of Ejection and related Periodic Orbits-Painlevé's Theorem [Proceedings London 
Mathem. Society, s. 2, v. 11, pp. 367-397 (1912)]. 
Relation» among Families of Periodic Orbits in the Bestricted Problema of Three Bodies [Proceedings 
of the Fifth International Congress of Mathematicians. Cambridge 1912, v. 2, pp. 300-314 (1913)]. 
