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attrazione. Consiste nel tracciare due curve chiuse una interna all'altra, e poi 
nel costruire una certa espressione in funzione del raggio di curvatura, della 
direzione della normale, dell'energia potenziale e della costante h. Se tale espres- 
sione assume valori positivi per tutti i punti della curva interna e valori ne- 
gativi per quelli della curva esterna, allora nell'anello esisterà un'orbita pe- 
riodica in quel problema dinamico, che ha h come costante dell'energia. Di più 
un certo integrale esteso al campo racchiuso da quell'orbita è eguale al numero 
dei centri di attrazione da essa racchiusi, diminuito di due. Il criterio poi si 
estende, cambiando naturalmente forma alla espressione detta sopra, al caso 
dei centri mobili e quindi anche al problema ristretto 208 ). 
La dimostrazione del Whittaker non essendo troppo rigorosa , perchè 
fondata su considerazioni di minimo, l'argomento è stato ripreso quasi con- 
temporaneamente dal signor Signorini s0 °) e dal Prof. L. Tonelli e si è potuto 
raggiungere tutto il rigore desiderabile. Il Tonelli per di più ha esteso il detto 
criterio e ne ha dato anche uno nuovo che è basato sulla considerazione di 
una sola curva ~ 10 ). 
Ma l'argomento delle soluzioni periodiche nel problema generale dei tre 
corpi non è stato sin qui abbordato. Poincaré, com'è noto, vi aveva rivolto i 
suoi studi negli ultimi anni della sua vita, senza giungere disgraziatamente a 
risultati conclusivi 2 "). 
I geometri americani si sono anche occupati in questi ultimi anni del pro- 
blema ristretto dei quattro corpi ; del problema cioè di quattro corpi mobili in 
un piano e di cui uno ha massa infinitamente piccola (planetoide) e gli altri 
tre si muovono o sopra circoli, o costituiscono una configurazione di Euler o 
di Lagrange. Assegnato anche in questo caso l' integrale di Jacobi (il solo al- 
gebrico), il Moulton ha studiate le curve di velocità nulla nel caso in cui le 
tre masse finite sono in linea retta, oppure ai vertici di un triangolo equila- 
tero ~ lì ) che ruota uniformente nel proprio piano. I centri di librazione sono 
in tal caso 28, di cui 18 in linea retta; cioè tre corpi di massa finita ed uno 
208 ) On Periodic Orbita [Monthly Notices , v. 62, pp. 186-193 (1902) : Analytical Dynamics, 
§ 169 j; Ora Periodic Orbita in the Restricted Problem of Three Bodies [Ib., v. 62, pp. 346-352 (1902)]. 
ìv ' J j Sul teorema di Whittaker [Rend. E. Acc. Lincei, s. 5, t. 21 (1° sem. 19H), pp. 36-39]; 
Esistenza di un'estremale chiusa dentro un contorno di Whittaker [Rend. Circolo Matem. di Palermo, 
t. 33, pp. 187-193 (1912)]. 
ì10 ) Sulle orbite periodiche [Rend. R. Acc. Lincei, s. 5, t. 21 (1° sem. 1911), pp. 251-258: 
332-334]. 
Sur un théoreme de Geometrie [Rend. Circolo Matem. di Palermo, v. 33, pp. 375-407 (1912)]. 
Un giovane geometra americano, il sig. Birkhoff: Proof of Poin:aré's Geometrie Theorem [Trans. 
American Mathem. Society, v. 14, pp. 14-22 (1913)], ha dimostrato il teorema di Geometria enun- 
ciato e verificato in alcuni casi particolari dal Poincaré, ed a cui il grande geometra era giunto 
nelle sue ricerche sulle orbite periodiche. Il Birkhoff si occupa da qualche tempo del problema 
delle orbite periodiche; ma non abbiamo potuto ancora consultare un lavoro attualmente in corso 
di stampa nei Rendiconti del Circolo Mat. di Palermo. 
M, J On a Class of Particular Solutions of the Problem of Four Bodies [Trans. American Mathem. 
Society, v. 1, pp. 205-242 (1900)]. 
