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§ I 
Le ricerche di cui ci occuperemo esigono che siano dichiarate alcune 
proprietà di un sistema di funzioni dedotte con una certa legge da una 
funzione intera di una variabile: funzione che indicheremo con F(5), e 
supporremo : 
F [z] = p, z"+ Pi 3""+ • • . s+2J„ . 
Se da questa funzione si sopprima l'ultimo termine, poscia i due ultimi, 
indi i tre ultimi, e così di seguito, finché rimanga il solo primo termi- 
ne, ed i resti si dividano ordinatamente per le potenze 
i quozienti formeranno un sistema di funzioni di gradi decrescenti n—1 , 
Il — 2 ,...,4,0,1' ultima delle quali si riduce a p„ , coefficiente del primo 
termine di F(;?). Noi dinoteremo queste funzioni con la stessa caratteri- 
stica F adottata per la funzione da cui derivano, variandola però con in- 
dici, che ne esprimano i gradi, di modo che sarà: 
(1) F,(z) =p,z^ -hp,z +2), 
F„_x {z) =p,z''-'-^p,z''-'-A.p,z"-'+ . . . -\-p^_. 
Una prima proprietà di queste funzioni consiste in ciò che, se la fun- 
zione primitiva F(2) si divida per una potenza qualunque del binomio 
X — a, essendo a una quantità arbitraria, il quoziente intero di questa 
divisione si può immediatamente esprimere per mezzo de' valori che pren- 
dono per x—a le derivate delle funzioni (1) di un ordine inferiore di 
un' unità al grado della potenza del divisore. Per dimostrarlo supporremo 
che Qi, Q2, Qs, etc: siano i quozienti interi provvenienti rispettivamente 
dalla divisione di Y[z) per le potenze z — a, [z — cif, [z — ay, etc: ; e sic- 
come il resto della prima di queste divisioni è espresso daF(a), avremo 
identicamente: 
z — a z — a 
Ora questa equazione identica può con sole derivazioni rispetto ad a dar 
subito le espressioni degli altri quozienti Qa, Q^, etc: In fatti, riflettendo 
