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Seconda dimostrazione 
Supporremo qui ritenuta la parte iniziale della precedente dimostra- 
zione diretta a stabilire la formola: 
(17) 2/,-V„,,+V,,^+...+V,, 
da cui dipendono le equazioni (11) che determinano le n costanti, ed os- 
serveremo che le espressioni di V,,^, V^,^, etc. si possono mettere sotto 
la forma: 
a r(r— t\..fr— 1-»-2' ^ rfr— l\..(r— i-+-2ì 
Posto ciò, derivando r volte di seguito la (4-), si ha l'altra equazione: 
la quale, ponendovi x=cc^ per le notazioni convenute diverrà: 
Questa equazione, che ha luogo per tutti i valori interi e positivi di r, 
compreso il zero, fa sì che le quantità ijoi y^i V^t - ■ • formino una serie 
ricorrente dell'ordine n. In questa serie, a causa delle n costanti arbi- 
trarie contenute nella espressione di data dalla (17), i primi n termini 
?/,,... , possono essere dati arbitrariamente ; ma ora andremo a 
dimostrare che, se i loro valori sono quelli che si suppongono dati per 
la determinazione delle costanti, allora sviluppando la funzione fratta 
^TTTj in potenze decrescenti di z, la detta serie sarà riprodotta nc'coelR- 
cienli di questo sviluppo , di modo che dovrà essere in tale ipotesi: 
Per dimostrarlo osserveremo innanzi tutto che la funzione ■i>{z) definita 
nella (7) si può scrivere come segue: 
i' (-■; =Poyo2'""+ (Poi/.-+-Pxy<,)-''~'+(i'„y.+7'.2/x+P22/o)z"''+ • • • + 
+ (]'gy«-i+Pi!/„-2+- • •+P.-i!/o) 
Atti — Voi. IL— N.o 8 3 
