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pari delle altre t/^, y^, ^/ai • • • > una serie ricorrente dell'ordine n, la quale 
dipende dalla slessa equazione generatrice F(«); ma affinchè le due se- 
rie possano essere coincidenti è necessario che i primi n termini dell'una 
siano uguali a' primi n termini dell'altra. Ora ciò segue appunto dal con- 
fronto delle equazioni (21) con le (22), le quali danno evidentemenle 
y^—u^ , yi=u^ , . . . , ?/,_j=w _j ; e con ciò resta dimostrato lo sviluppo 
della frazione |r^, come si è supposto nella (20). 
Bisogna intanto osservare che lo sviluppo della stessa frazione si può 
ancora ottenere decomponendola in frazioni parziali, e cercando i loro 
particolari sviluppi. Essendo a,b,... , l le radici dell'equazione ¥{z)=0, 
multiple rispettivamente di gradi a, /3, . . . , X, la decomposizione con- 
durrà ad un risultamento cui può darsi la forma: 
e quindi ?/^, coefTicienle della potenza z"'-''*^^ nello sviluppo discendente 
del primo membro, sarà uguale alla somma de' coefficienti della stessa 
potenza ne' sviluppi somiglianti di tutte le frazioni che compongono il 
secondo membro; laonde, se si dinota con V' Jl coefficiente della detta 
potenza nello sviluppo della prima sommatoria , con V^^ quello della 
medesima potenza nello sviluppo della seconda, e così di seguito, si avrà: 
(23) 2/.-v;_+v;.,-i-...+v;.,. 
Siccome la frazione sottoposta al primo 2 equivale ad Aa-i(2 — a)", si 
troverà facilmente per la formola del binomio che la potenza z'^^'^' ha per 
coefficiente : 
e quindi risulta : 
r(r-l)...(r-i+2) 
1.2... " 
^' 1.2...(i-l) 
Questa espressione V,'.^ è ciò che diviene quella di ^ data nella prima 
delle (18) mutandovi solo A^_i in A^_ì; ed è evidente che analoghi ri- 
sultamcnti si otterrebbero per gli altri termini del secondo membro della 
equazione (23). Ora dovendo questa equazione sussistere per qualsivoglia 
