— 20 — 
valore intero e positivo di r, avrà luogo in particolare por r=0, 1,2,..., 
il. — 1 ; e da ciò segue che i numeratori A', B', eie. delle n frazioni par- 
(z) 
ziali, nelle quali è decomposta la frazione =-— , verificano le n le equa- 
zioni lineari : 
!/o =v:,„ H-v;„„ +...+v;,„ 
2/i +v;,. +...+v;_. 
Ma queste equazioni sono ciò che divengono le (H) mutandovi rispetti- 
vamente le A, B, etc. in A', B', eie.; dunque i detti numeratori verifi- 
cheranno ancora le equazioni (il); o in altri termini si avrà general- 
mente A' = A'; B|=B, , etc; e con ciò resta riconfermato il teorema 
che trattavasi di dimostrare. 
§ I" 
Nella teoria delle equazioni lineari a differenze finite si ritrova una qui- 
stione interamente analoga alla precedente; ed è questa propriamente 
quella che ha formato il soggetto delle ricerche di Lagrange nelle due 
memorie del 1775 e 1792 citate tra le notizie premesse al presente lavo- 
ro. Sia l'equazione lineare dell'ordine n: 
dove r figura la variabile , e , 7;^ , . . . , p^^ quantità costanti. E noto che 
il suo integrale completo dipende ancora dalle radici dell'equazione: 
Ora, dinotata con a una di queste radici, la medesima, se semplice, darà 
all'integrale un termine della forma Art', indicando A una costante ar- 
bitraria; ma se multipla di grado a, essa introdurrà nell'integrale un'es- 
pressione della forma: 
r—X i I 
A . ^ * r-i r(r—\] , ,. , r[r— l]...(r— «-(-2) . 
nella quale A^ , A, , . . . , A^_, figurano « costanti arbitrario. Questa os- 
