-10 — 
ART. II. 
Decomposizione generale delle frazioni 
42. In ciò che segue dinoteremo con N e A il numeratore e denomi- 
natore della data funzione fratta a decomporre in frazioni parziali, figu- 
rando perciò questi simboli funzioni intere e razionali di x \ ed ammet- 
teremo che il grado di N sia minore di quello di A. Ora la quistione che 
si tratta di risolvere è la seguente : supposto che Asia un prodotto di fat- 
tori razionali primi tra loro^ decomporre la data frazione in frazioni par- 
ziali aventi qne' fattori per denominatori. Distingueremo questa quistione 
in due casi, secondocliè i fattori di A sono semplici o multipli, cioè del- 
l'una 0 l'altra forma: 
CASO 1" 
Frazioni paniali nascenti da^ fattori semplici di A. 
13. Sia U un fattore di A ed M l'altro fattore, per modo che: 
A = UM ; 
dico che, se U ed INI sono primi tra loro, la frazione data si potrà de- 
comporre in due frazioni aventi per denominatori U ed M, e per nume- 
ratori determinate l'unzioni intere di gradi inferiori a quelli de'rispettivi 
denominatori. In fatti, se ciò è possibile, chiamando u ed N, i due nu- 
meratori, dovrà essere identicamente: 
N__ N _ u N. _ 
e quindi dovrà ancora sussistere l'uguaglianza: 
(1) N = mM + UN, 
la quale, essendo U primo con M, posto U=0, si riduce ad 
N= uM ; 
e ne risulta che per soddisfarla bisogna prendere por u la funzione in- 
