rette o circolari, e nelle superficie piane o sferiche) ma soltanto delle 
immediatamente vicine. Or siccome la condizione di condurre una retta 
normale ad una linea o ad una superficie da un dato punto è sufficiente 
a determinarne la posizione, così la prima e vera difficoltà del problema 
si riduce a condurre pel punto dato tutte le normali possibili alla curva 
0 alla superficie. 
3. Determinata che sia una normale ad una curva da un punto dato 
fuori di questa per conoscere se la medesima sia un massimo, o pure 
un minimo, o pure nè l'uno nè l'altro rispetto alle rette adiacenti me- 
nate dallo stesso punto, bisogna distinguere varie ipotesi. 
Se la curva nel punto d'incontro con la normale oppone la convessità 
al punto dato, da cui parte, è di tutta evidenza (fig. i) che la normale 
sia un minimo al paragone delle rette che per lo stesso punto dato si 
possono condurre ai punti della curva adiacenti da ambe le parti (almeno 
immediatamente) al detto incontro. 
A. Non così nella ipotesi che la curva nel punto d'incontro con la nor- 
male oppone la concavità al punto dato per cui questa si conduce, po- 
tendo allora verificarsi tre casi ben distinti. A luogo il 1" quando il cer- 
chio avente per centro il punto dato e per raggio la normale è come 
esterno alla curva, p per così dire l'abbraccia (almeno per la estensione 
di archi piccolissimi) da ambe le parti dell'incontro (fig. 2): allora la 
normale è un massimo , perchè a simiglianza di questi raggi eccede le 
porzioni di essi , terminate alla curva. Il 2" caso à luogo quando al con- 
trario il detto cerchio è interno alla curva da tutte due le parti dell'in- 
contro (fig. 3), almeno per un tratto comunque piccolo; nel qua! caso 
la normale dee ritenersi un minimo, perchè a simiglianza dei raggi adia- 
centi è minore di questi raggi prolungati sino alla curva. À luogo final- 
mente il 3° caso, affatto singolare, quando il consueto cerchio intersega 
propriamente la curva nel punto comune, sebbene l'uno e l'altra abbia- 
no quivi una stessa tangente (fig. 4). Allora la normale è minore dei raggi 
vettori della curva lungo il tratto dove il cerchio è interno ad essa , ed 
è maggiore dei raggi vettori della curva nel tratto dove il cerchio è ad 
essa esteriore; ondechè in sostanza non si può dire nè massima nè mini- 
ma nel senso preciso o tecnico di queste voci (1). 
(1) Essendo notissimo che in quest'ultimo caso la normale non difTerisce dal raggio del 
cerchio osculatore della curva, si rende palese che una normale sia un massimo quando 
