5. Per rispetto alle curve storte ossia di doppin curvatura, bisogna di- 
stinguere la ipotesi in cui la normale giace nel piano osculatore della 
curva nel punto di loro intersezione dalla ipotesi in cui giace fuori di 
cotal piano, il quale supponghiamo cognito pei metodi grafici di Geo- 
metria descrittiva. Nella prima ipotesi tornano in essere i tre casi dianzi 
noverati per le curve piane, e le conseguenze che ne abbiamo desunte. 
Ma nella seconda mi sembra non potersi fare ammeno di tracciare in due 
piani distinti il cerchio avente per raggio la normale, nel piano cioè 
della tangente mm (fig. 6) alla curva nel punto preciso M d'incontro con 
la normale e della tangente consecutiva nn , discosta dalla prima non 
più di quanto basta ad essere graficamente ben diversa da essa; e nel 
piano della stessa tangente primitiva mm, e dell'altra // che la precede, 
e che pur n'è lontana sol quanto basta ad essere sensibilmente diverse 
una dall'altra. Nel primo di questi piani può stimarsi giacere l'archetto 
MvN della proposta curva AMB, e nel secondo può supporsi giacere l'ar- 
chetto JAL; quindi, se in ambe le posizioni del cerchio un archetto di 
questo, contato da M, sarà interno ai detti piccoli archi MiVed LM della 
curva, ciò indicherà che la normale PM sìa. un minimo; se in ambedue 
le posizioni gli archetti circolari saranno esteriori ai piccoli archi MN 
ed ML, la normale dovrà stimarsi un massimo; e non sarà nè un mini- 
mo nè un massimo quando un dei due archetti circolari sarà interno e 
l'altro esterno alla curva nelle adiacenze immediate dei punto il/. 
6. Passando a considerare la normale da un punto ad una superficie 
curva, distingueremo primamente il caso (per verità singolare) in cui 
questa nel punto dove la normale la incontra è non convessa, cioè tale 
che il piano quivi tangente la intersega ed ha con essa un contatto di se- 
condo ordine; ed il caso in cui è propriamente convessa, non avendo di 
comune che un punto solo col piano tangente. Nel primo caso è evidente 
è maggiore di cotal raggio, sia un minimo quando n'è minore e non sia generalmente 
parlando nè l'uno nè raitro quando gli è uguale. E diciamo generalmente parlando per- 
chè se il punto della curva fosse per avventura uq vertice o pure un umbilico di essa , la 
normale divenuto raggio osculatore tornerebbe un massimo o un minimo a seconda che 
avrebbe luogo il 1° e il 2" caso, tanto pel vertice quanto per l' umbilico. La normale è pure 
un minimo quando nel punto dove incootra la curva, questa subisce una inflessione. In- 
fatti (fig. o) avendo la curva nel punto iVuu contatto di 2" ordine con la tangente il cer- 
chio descritto col centro P e raggio PN non può cadere tra la curva e la tangente epperò 
resta al di sotto di un arco m Nm abbastanza piccolo. 
