parie intera rispetto alla variabile; o, in altri termini, ammetteremo che 
il grado del numeratore X(.t) sia inferiore a quello del denominatore 
//(.r). Ciò fa che la serie sia regolare fin dal primo termine, il quale è 
sempre da tenersi conosciuto a priori, perchè in ogni caso è il quoziente 
che si ottiene dividendo il primo termine del numeratore pel primo term,ine 
del denominatore. Adunque ritenendo che le due funzioni X(.z;) e (Jì{x), 
siano le più generali del loro grado, potremo supporre: 
H (x) = fio+ + f^2^'+ •••-+- ac'" 
ed allora il primo termine dello sviluppo ascendente sarà — , e lo svi- 
i 1 
luppo discendente avrà per primo termine . — . kioltre pe'due svi- 
luppi adotteremo le forme seguenti : 
(2) M^)=3 P„ +P,a; + PX + .- • + P,a;"-F etc: etc: 
li (x) 
u{x) XXX X 
e la quistioue che forma il soggetto delle nostre ricerche si riduce a tro- 
vare le espressioni de'coefficienti de' due termini generali P,.i;''e Q 
vale a dire di P„ coefficiente di a;" nello sviluppo ascendente, e di coef- 
ficiente di oT''"'' nello sviluppo discendente. Queste espressioni sono 
evidentemente funzioni dell'indice n, numero essenzialmente intero e 
positivo, e converremo di rappresentare sì l'una che l'altra con la no- 
tazione comune F(n). Laonde con questo simbolo intendiamo di espri- 
mere di una maniera generale il coefficiente del termine generale dello 
sviluppo della data frazione, qualunque sia la maniera di sviluppo; ma 
in particolare converrà ritenere F(«)=P„ ove trattisi dello sviluppo 
ascendente; ed F(n)=Q , quando sia quistione dello sviluppo discen- 
dente. 
3. Del rimanente bisogna osservare che le due maniere di sviluppo 
possono farsi dipendere l'una dall'altra, ed in modo semplicissimo. Per 
esempio, ammettendo che sappia trovarsi lo sviluppo discendente di 
qualunque funzione fratta razionale, basterebbe ciò solo per ottenere lo 
