II 
Formole e teoremi fondamentali. 
7. Siano a,b, c,... le radici distinle dell'equazione [x[x)=0, ed 
a., (3,y, ... i loro gradi rispettivi di moltiplicità ; decomponendo la data 
frazione (1) in frazioni parziali, potremo supporre: 
Hx) ^ A„ A, A^_, 
B„ B, B 
{x—bf [x — hr-' x—h 
4- ^° H ^ + ...4-^ 
(a; — cy {x — c)^ ' X — c 
4- etc: etc: eie: 
e le costanti Ai, B, saranno definite dalle formole: 
A- ^D'-^ B-— i— D^-^ eie- etc- 
Posto ciò, siccome lo sviluppo della frazione proposta equivale alla somma 
degli sviluppi analoghi di tutte le frazioni parziali, ne segue che i valori 
di e sono uguali il primo alla somma de' coefficienti di ne'loro 
sviluppi ascendenti , ed il secondo alla somma de' coefficienti di a;"^'"'^ 
ne'loro sviluppi discendenti. Ora converremo di indicare con P,, ^ la 
somma de' coefficienti di negli sviluppi ascendenti delle sole a frazioni 
dovute alla radice a; con P,^ ^ la somma analoga per le (3 frazioni dovute 
alla radice b ; e così perle altre. In questo modo P„^, P„ j, P,,^, etc: dino- 
teranno le parti di P„provvenienti rispettivamente dalle radici a, b, c, etc: , 
parti che diremo elementi di P, , e si avrà: 
P„ = P,-.„-+-P„.i4-P„..-f- etc: etc: 
Uniformemente scrivendo Q^^, Q^, , Q^^^, etc: per rappresentare gli ele- 
menti di Q„ dovuti alle radici a, b, c, etc:, avremo: 
Q.. = Q,,„+Q,.4+Q,,c+ etc: eie: 
Pertanto è chiaro che la ricerca di P^ e Q„ va ridotta a quella de' loro eie- 
