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siate al coefficiente di x", presa col segno contrario, sono rispettivamente 
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uguali al coeljlciente di — negli sviluppi ascendenti delle due funzioni: 
15. 11 teorema così presentato palesa subito una proprietà, che è di 
molto interesse nelle attuali ricerche. Siano a e b due distinte radici 
dell'equazione f/(.r)=o, e Q^^ ^ e ^ i corrispondenti elementi di Q -, sarà: 
Q„.„=coef.Ì in '-^Aa+t)" , Q.,,=coed in '^(b-^-t)" 
t p-(a-f-i) t iJi(a-]-t) ' 
Ora, posto che « e /3 siano i gradi di moltiplicità delle due radici, si ha 
e quindi si vede che le espressioni di Q,^ ^ e Q^^^ sono, in generale, fun- 
zioni dissimili delle radici aeb; ma la cosa muta di aspetto se sono uguali 
i loro gradi di moltiplicità; vale a dire se oc=/3. Allora in fatti abbiamo: 
ed è manifesto che in tal caso le espressioni di Q^^^ e ^ si mutano l'una 
nell'altra mutando a in è; o viceversa. E poi ben chiaro che ha luogo 
la stessa proprietà a riguardo delle espressioni di P^ ^ e P^; e quindi ri- 
sulta il teorema che segue: 
>. (x) 
Nello sviluppo discendente o ascendente della frazione — — ■ le parti del 
coefficiente di x~^"*' o di\", dovale a due distinte radici de W equazione fj^{\)-=zO, 
sono funzioni simili delle stesse radici, quando sono uguali i loro gradi di 
moltiplicità. 
16. Si è già osservato che i valori di Q^^ ^ e P^ si possono ottenere divi- 
dendo X(a+f) per d{a-\-t) , e cercando il coefficiente di T"' nel prodotto 
del quoziente per la potenza [a-i-t]" o per l'altra {a-\-t)'^"*^\ Ora è noto 
che i coefficienti de' primi «termini di quel quoziente equivalgono ai nu- 
meratori delle oc frazioni parziali di , dovute al fattore (a; — aY di 
vale a dire alle quantità designate con A^,, A,, ... , A^_^ ; e quindi 
