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risulta il seguente teorema , che porge ad un tempo lo sviluppo in serie 
della data frazione, e la sua decomposizione in frazioni parziali. 
).(x) 
Data la frazione — sia (x — a)* un fattore di ìm(x), e 6(x) il fattore 
complementare. Dividendo X(a+t) per 6(a+t) i coefficienti de' primi a ter- 
mini del quoziente saranno per ordine i numeratori delle cf. frazioni par- 
ziali della data frazione , aventi per denominatori le potenze decrescenti 
(x-ar, (x-ar\..., x-a. 
Inoltre, se il quoziente si moltiplica per la potenza (a-ht)" o (a-ht)~'"*'\ 
il coefficiente di t*~^ esprimerà la parte attribuita dal fattore (x — a)" al 
coefficiente di x~^"*'^ nello sviluppo discendente della frazione proposta , o a 
quello di x" nel suo sviluppo ascendente. 
Adunque, secondo questo teorema, il valore di Q^^ sarà il coefficiente 
di nello sviluppo del prodotto: 
[A„+A.t+A/+...+A,_.t«-'] X 
XK-^+(n),a''-^t+(n),a«-^f+...+(n)_,t*-]a"— ' 
ed il valore di P„,„ sarà pure il coefficiente di T"' nello sviluppo dell'al- 
tro prodotto : 
[A,-hA.t+A,f''-)-...+A,_.i^-'] X 
X [a°'-'+(-n-l),a°'-^<-|-(-H-l)X"'i'+-+(-n-l),_.t"-']a-(''*"\ 
e si ha in conseguenza 
(H) Q„. - ■ [(nL-xAo+(nL_.A,a-t-(n),_3A,a^^...+(n)„A^_,a*-]a"— S 
(18) =_[(-n-lL_.A„-h(-n-lL_,A.a+...+(-n-l)„A,_,a°'-']cr<"^^\ 
Egli è facile a riconoscere che queste espressioni di ^ e ^ coincidono 
con quelle che risultano rispettivamente dalle formolo (9) e (10); ma 
esse acquistano maggiore importanza pel significato che ricevono dal teo- 
rema attuale. 
