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Svilup'oo ascendente 
52. Procedimenti analoghi si possono stabilire per lo sviluppo ascen- 
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dente di — ; ma siccome i primi m termini non sarebbero immediata- 
niente conosciuti, eviteremo questo ostacolo facendo dipendere il detto 
sviluppo da quello di (n° 5), pel quale tornano ad esser nulli i primi 
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m — 1 termini, ed il termine ha per coefficiente — . D'altra parte 
l'o 
è già osservato che questi due sviluppi si deducono subito l'uno dall'al- 
tro, in guisa che chiamando p,^ e// i coefficienti di x" nel primo e nel 
secondo sviluppo, si ha: 
Adunque, invece di coefficiente di x" nello sviluppo ascendente di 
1 „ x"'~^ 
, cercheremo;)^ coefficiente di x" nello sviluppo somigliante di —— - . 
Ma, così essendo, è facile di vedere che tutto ciò che si è detto per la 
ricerca di si applica parola a parola a quella di p'^ , col solo divario di 
doversi mutare /y.„, in jWo, e cangiarsi il segno agl'indici delle s, come 
segue dalle formolo stabilite ne' numeri da 30 a 33. Intanto, per evitare 
gl'indici negativi, converremo di rappresentare con <3^ la somma delle 
potenze positive di grado r delle inverse delle radici di quelle medesime 
equazioni, cui si rapportano le somme s,, di guisa che si avrà general- 
mente : 
ed allora ecco i risultamenti che si ottengono nella presente ipotesi. 
53. Caso I. L'equazione ijl[x)=0 non ha radici multiple. Dinotando (j^ 
la somma delle potenze di grado r delle radici di |a^^^=0, sarà : 
