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Questa forinola è inconcludente nel caso di )'=:0; ma si sa che in questa 
ipotesi si ha s^ = m. 
Il valore di s, può ancora farsi dipendere dalle somme di gradi infe- 
riori ad r; a qual' effetto si hanno in pronto le formole ben conosciute 
di Newton: 
s,-t-a, = 0 
e per qualunque valore di r maggiore di m: 
S.+ ajr-r+ «2S,._^+ . . . + a„,_,s, _,„^ a„ s,._,„ = 0 . 
Si sa del resto che i valori di s^, , Sg, etc. sono i coefficienti dello 
sviluppo discendente della frazione: 
F'{x)_ mx"'~'+(>n— l)a, x'"~^+...4-a„_, _ s„ ^ s, _l. j_ 
F (x) x'"-hax"~^-\- ...■+- a x x^ x^ 
sviluppo che può ottenersi mediante la divisione ordinaria. Questa fur- 
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mola intanto, mutandovi la in —, e poi dividendo i due membri per 
.r , diviene : 
= s^-hs^x + s.^x'-\-. . .-\-sx'-t-. 
x¥(^~) 1 + a^x + a^oc^-f- . . . + a„.x"' 
quindi si vede che i valori delle somme s^, s, , s^j etc: sono i coefficienti 
F'C-) 
dello sviluppo ascendente della frazione — e si ha per tal modo un 
metodo comodissimo per calcolare le dette somme col mezzo della di- 
visione. 
Ma per lo stesso oggetto troviamo indicato dal chiarissimo Professore 
Bellavitis un procedimento molto piìi semplice e rapido; procedimento 
immediatamente dichiarato dalle formole di Ne\vton. Supponiamo che 
si tratti di calcolare le somme delle potenze simili delle radici dell' e- 
