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per l'equivalenza sarà (jl^v^=[xV, per la similitudine iAy=v^fji.' e per l'e- 
guaglianza finalmente si avrà v^ = v'. 
Per i punti A,i5, ed A'B' si possono condurre in ciascun sistema due 
rette cicliche rappresentate rispettivamente dall'equazioni 
esse sono parallele in ciascun sistema a due rette fisse, del pari che le 
rette A e B. 
Nei sistemi proporzionali o equivalenti non vi sono punti focali (a di- 
stanza finita); nei sistemi simili non vi sono rette cicliche (a distanza fi- 
nita), ma ogni punto è focale; nei sistemi eguali poi ogni retta è cicli- 
ca , ed ogni punto è focale. 
6. Passiamo ora ad esaminare il caso in cui due sistemi in dipendenza 
equianarmonica appartengono ad una stessa forma geometrica. 
Supponiamo che i sistemi {s^,S^) ed {s' ,S') (omografici) in dipendenza 
equianarmonica appartengano ad una stessa superficie sferica. Gli archi 
omologhi condotti per due punti omologhi <x>^,(xi' costituiscono con i loro 
punti d'intersezione un sistema di 2° ordine di punti {<3,ai) al quale ap- 
partengono iTOj ed ce' ; tutti questi sistemi (Ujflo) hanno tre punti comuni 
e,f,g ciascuno dei quali considerato come appartenente ad uno dei si- 
stemi ,s' coincide col suo omologo nell'altro. Similmente gli archi 
che congiungono i punti omologhi appartenenti a due archi omologhi 
O, ,iQ,' costituiscono un sistema di 2° ordine di archi (^,^1) al quale 
appartengono II, ed £1' ; tutti questi sistemi (^,0) hanno tre archi co- 
muni E,F,G, ciascuno dei quali considerato come appartenente ad uno 
dei sistemi S, , S' coincide col suo omologo nell'altro. I punti e,f,g e gli 
aTchìE,F,G costituiscono una stessa terna {efg,EFG); essi si dicono i 
punti e gli archi doppii dei sistemi (s, ,5i), (s',5'). Dei punti e degli ar- 
chi doppii uno è sempre reale; gli altri due possono essere immaginarii. 
Conoscendo uno dei punti doppii, per esempio (/, se si tirano per esso 
due archi omologhi fl^ gli archi che congiungono i loro punti omo- 
loghi concorreranno in un punto dell'arco doppio G, il quale resta così 
determinato considerando due coppie di archi omologhi (^i, ,0'); gli 
archi doppii dei due sistemi equianarmonici di 1^ specie costituiti dagli 
archi fl^, fi' saranno gli archi doppii E ed F di ed S'. Similmente cono- 
scendo uno degli archi dup[)ii, per esempio G, se si prendono in esso due 
punti omologhi a\,(ro', i punti di concorso degli archi omologhi condotti 
