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e supponendo inoltre r,=p,-|-5j l'equazione (2) darà per 5, due valori 
pguali a zero, ed il terzo espresso da 
' y~jU^sena'A' p,VjSenb'B' v^w^senc'C ' 
Pel valore p della radice doppia di (2) le tre equazioni (1) si ridurranno 
alla sola 
(3) L,x,-\- M,y,-hN,z, = 0 , 
tutt'i punti dell'arco G rappresentato dall'equazione (3) saranno quindi 
punti doppii dei sistemi s, ,s'. Pel valore poi p.H-^, della terza radice 
di (2) le equazioni (1) daranno 
sena'B^ sena'C^ ' seìib'C^ senh'A^ ' senc'A^ senc'B^ 
ed il punto g rappresentato da queste equazioni (di cui una qualunque 
è conseguenza delle altre due) sarà un altro punto doppio di , s'. 
Nel caso esaminato i sistemi (s, , 5,) ed (s' , 5') hanno dunque per punti 
doppii g e tutt'i punti di G, e quindi per archi doppii G e tutti gli archi 
che passano per g; l'arco condotto per due punti omologhi e», , as' passerà 
sempre per g, ed il punto d'incontro di due archi omologhi ,0' si 
troverà sempre in G. I sistemi in dipendenza equianarmonica si diranno 
in tal caso prospettici (omologici) ; g sarà il centro e G Passe di prospettiva 
(centro ed asse di omologia). 
Supponiamo ora che si annullino i diversi elementi del determinan- 
te (2); allora le terne [abc,ABC)^ ed {abc,ABCy coincideranno tra loro, 
1 
e sarà inoltre n^=v^==ii\= — ; l'equazione (2) avrà tutte e tre le ra- 
Pi 
dici eguali a p,, e per questo valore di r, l'equazioni (1) essendo soddi- 
sfatte identicamente, potrà considerarsi ogni punto come punto doppio di 
s, e quindi ogni arco come arco doppio di 8^,8'; i due sistemi sono 
in tal caso coincidenti o identici. 
Supponendo che nelle terne {abc ,ABC)^ ed [abc,ABC)' i due punti 
c,,c' coincidano col punto doppio g, ed i due archi C, ,C coincidano 
coll'arco doppio G, gli altri due punti doppii e,f saranno determinati 
da una qufilunque dell'equazioni 
x^{senay — ì\%i^sena'h') -\-y^9enhy — Q , 
x^scna^a'-\- y^{senh^a' — rjy^senh'a')—0 , 
