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ed i centri saranno determinati da due qualunque dell'equazioni 
X (1_ rM')-{-y (1 —Tvv) cos ef^ si— rmu) cos eg = 0 . 
(2) ^{^—rvu)cosfe^y{l^rv')-i-z{l—rvw)cosfg=0 , 
X (i—rwu) eos ge+y{i —rwv) cos g/+z{l— rK;')= 0 , 
ponendo successivamente in esse per r le radici dell'equazione 
' 1 — *-w^) , ii—ruv)cos ef , , l—ruw coseg 
(3) (\.~riu)cosfe , (l— ru^ , {i -rvw)cosfg , =0. 
(1 — rwu) cos ge , (1 —noi;) cosgf . (1 — m*) 
Cambiando le lettere minuscole in maiuscole si avranno le formole 
analoghe per determinare i punti focali, e gli assi, e si parlerà del I« o 
del 2" sistema secondo che alle lettere si porrà l'indice o l'apice. 
Le formole precedenti si semplificano alquanto allorché g,/ o 'E,F) 
è coppia principale, e maggiormente allorché è principale la terna 
{efg,EFG], nel qual caso i punti e gli archi di questa terna sono i cen- 
tri e gli assi comuni ai due sistemi. Se fe,f^ o pure {E,F) è la coppia 
immaginaria all'infinito corrispondente all'arco G, o pure al punto ^, G 
sarà un arco ciclico, o pure ^ sarà un punto focale; verificandosi insieme 
queste due circostanze, i sistemi saranno in dipendenza equianarmonica 
circolare, vale a dire essi avranno infinite terne principali omologhe, che 
hanno di comune g e G, e coincideranno con quel punto i due punti fo- 
cali reali, e con quell'arco i due archi ciclici reali ; se inoltre i sistemi 
sono eguali e rivolti per lo stesso verso, ogni arco è ciclico, ed ogni 
punto è focale. 
Le stesse proprietà si hanno allorché i sistemi sono in involuzione 
parziale 'simmetrica o ortogonale; relativa a a ^, o a tutti e due questi 
elementi insieme; solamente in quest'ultimo caso i sistemi potranno es- 
sere eguali e rivolti per verso contrario, o per lo stesso verso, secondo 
che l'involuzione è simmetrica o ortogonale. 
Supponiamo ora che i due sistemi siano prospettici, essendo ^ e G il 
centro e l'asse di prospettiva. Si potrà supporre GF un angolo retto, e 
gf un quadrante; un arco ciclico coinciderà con G, ed un punto focale 
con g; ponendo u = >=~, l'altro arco ciclico reale O. passerà per f, e 
sarà determinato nel r e nel 2-* sistema dall'equazioni 
{■*) cosge = — — — , cosqe 
^ sena G 5. 
senù'G 
