c l'altro punto focale reale co apparterrà ad F, e sarà determinato nel l*" 
e nel 2" sistema dall'equazioni 
(5) cosGE = ^ , cos GE = — — — . 
Se la prospelliva è ortogonale , i sistemi avranno infinite terne prin- 
cipali omologhe, che hanno di comune g e, G\ \ due punti focali reali 
coincideranno con fj, ed i due archi ciclici reali con G. 
Se i sistemi prospettici sono inoltre in involuzione, coincideranno con 
g e.à. e , Q con G ed -E, i due punti focali reali, ed i due archi ciclici 
reali; e finalmente se l'involuzione è simmetrica, i sistemi essendo eguali 
e rivolti per verso contrario , ogni punto è focale, ed ogni arco è ciclico. 
Allorché (s^, ed (s', S') sono sistemi di punti e di rette giacenti 
in uno stesso piano, sarà facile in tutt'i casi la determinazione delle 
terne principali omologhe, delle rette cicliche,, e dei punti focali; quando 
i sistemi sono prospettici le rette e JS', che in ciascun sistema corri- 
spondono rispettivamente alla retta all'infinito dell'altro, saranno paral- 
lele all'asse di prospettiva, e a distanze eguali ed opposte rispettivamente 
da quest'asse e dal centro di prospettiva; nel ì° o pure nel 2" sistema poi 
l'asse di prospettiva con l'altra retta ciclica, ed il centro di prospettiva 
con l'altro punto focale, saranno a distanze eguali ed opposte da .1, o 
pure da B'. 
Risulta evidentemente dalle cose dette che essendo dati due sistemi 
(s, , SJ ed (s', S') in dipendenza equianarmonica, su due sfere di raggio 1 
ina di centri diversi, si possono far coincidere le due sfere in modo che 
i sistemi risultino in involuzione parziale simmetrica o ortogonale, o 
pure in prospettiva, e ciò facendo coincidere convenientemente tra loro 
due punti focali , o due archi ciclici omologhi ; se i sistemi ammettono 
infinite terne principali omologhe, che hanno tutte un punto ed un arco 
di comune, l'involuzione sarà relativa ad un punto e ad un arco insieme,, 
e la prospettiva sarà ortogonale; la prospettiva finalmente sarà in invo- 
luzione allorché l'angolo compreso fra i due archi ciclici reali, o ciA 
che torna in tal caso lo stesso, l'arco compreso fra i due punti (beali 
reali, iia la stessa grandezza nell'uno e nell'altro sistema. 
9. Ogni sistema di 2° ordine {<5,cc) costituito dai punti d'incontro degli 
archi omologhi condotti por due punii otnuluglii co,, ce' è circoscritto 
alla terna {e,f\g), viceversa ogui sistema di 2" ordine a circoscrilto od 
{e,f,g) può considerarsi come un sistema (cy,ro), essendo a\ o co' il punto 
