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punti {e,f); e % secondo che si considera come sistema di archi o di 
punti si riduce al punto g preso due volte, o pure alla coppia di archi 
{E,F); gli archi D.^ ed corrispondenti al punto so passano pel punto 
d'incontro di G con osg, e sono coniugati armonici rispetto a questi due 
archi, come i punti <v, ed o:' corrispondenti all'arco li appartengono al- 
l' arco che congiunge g con Q.G, e sono coniugati armonici rispetto a 
questi due punti: 2° allorché si ha (2seneE=3.senfF; allora (s, ,5^) ed 
{«',5') sono sistemi identici, a e ^ si riducono ad un solo sistema di 
2" ordine ((5,2), ed i sistemi eterografici sono in involuzione. 
Non ci tratteniamo sull'ipotesi dei valori nulli o infiniti di a, /3 o y, 
nè su quella della coincidenza di due elementi doppii. 
Se in {s,S) un sistema di 2" ordine passa per {e,f) e tocca {E ,F), i 
sistemi omologhi in (5, ed in (5',s') coincideranno in uno stesso 
sistema di 2° ordine che passa anche per {e,f) e tocca 'E,F]; se poi 
si considera l'uno o l'allro dei due sistemi di 2" ordine di punti e di ar- 
chi rappresentati dall'equazioni 
±2ccy l/aS sen eE sen fF-\-z^ — sen gG — 0, 
V 
(6) 
± 2 AT l/=c5 sen eE sen ff -h -/ sen gG^O , 
ciascuno di essi considerato in [s,S) coinciderà col suo omologo in 
ed in {S\s'). 
Supponiamo i sistemi eterografìci in involuzione, e riferiamoli alla ter- 
na ortogonale fabc ,ABC], coniugata comune rispetto a (5,2) ed al si- 
stema di 2° ordine immaginario all'infinito. I sistemi 5 e 2 di punti e di 
archi saranno rappresentati da equazioni della forma 
1-2 1-2 72 
(7) yx'^ay'^.-j= 0, :^+i_^_f_^o. 
/. 'J. V 
e la dipendenza equianarmonica tra i sistemi eterografici [s,S) ed (S,s) 
sarà espressa dalle relazioni 
X y z 
(8) X : Y : Z : : yx : iiy : -jz ; x : y : z : : : — : — . 
A ti V 
Ad ogni arco ciclico in uno dei sistemi corrisponde un punto focale 
nell'altro, che è il punto armonico di quell'arco rispetto a '3,2), e vi- 
