Fattori irriduttibili 
I. Il binomio 1 — x" ammette in ogni caso un divisore commensurabile, 
il quale eguagliato a zero ha per radici le sole radici primitive dell'equa- 
zione 1 — x"=0. Questo special divisore del binomio, che suol chiamarsi 
fattore irridiittibile , perchè non è più oltre risolubile in fattori commen- 
surabili, è dunque una funzione intera e razionale di x , avente inoltre 
coefficienti interi; ed il suo grado coinciderà col numero delle radici pri- 
mitive dell'equazione 1 — x"=0 , vale a dire col numero definito più 
sopra dalla formola (1). In ciò che segue rappresenteremo il fattore irri- 
duttibile del binomio 1 — x" col simbolo X,^, e lo supporremo ordinato per 
le potenze ascendenti di x. Se n>2, questo fattore sarà sempre di 
grado pari e di forma reciproca , ed avrà per termini estremi 1 ed x"°. 
Per n=ì si ha Xj=::'l — x; e per w=2, sarà X^—ì-j-x. 
IL Per trovare in generale l'espressione di X^, qualunque sia n, si ha 
la regola seguente dovuta a Cauchy: 
« Si sviluppi l'espressione di data dalla (1), e si avrà una serie di 
« numeri interi in numero pari, metà positivi, metà negativi. Indicando 
« i primi con n, p, q,... [e tra essi è il numero 7i=y ìi^n^...7i^) , ed i so- 
ft condi con — h, — i, — A,..., l'espressione di X„ sarà definita dalla 
« formola: 
_{i—x"){ì—x''){i—x'').... 
la quale va sempre ridotta a funzione intera con coefficienti interi. 
Così si trova per esempio : 
X, =1— cc+cc^ 
X,o =1 — x+x"' — cc'+cc* 
X,^=l — x-f-cc^ — cc'+cc* — x'+as* 
X,. =1— x+a;'— cc^+x"— £c'+£c' 
X^, = 1 — x+x'— x*+x'— x'+x'— x"+x'^ 
X22 = l — x-i-x'' — x'-i-x^ — x'+ac" — x' +x'' — x'-hx'" 
X„=l-x+x''— x'+x*— x'+x"— x' -fx'— x^+x'"— x^'+x'" 
X.,=l+x— x'— X*— x^+x'+x° 
etc: etc: etc: 
