zione algebrica. Di queste due soluzioni la prima è, nella sostanza, 
quella del Sylvesler, quantunque esposta soUo una forma alquanto di- 
versa (*). 
DIMOSTRAZIONE 
E stato già osservato nella introduzione che il valore di P coincide 
col coefficiente di x" nello sviluppo in potenze ascendente di x della 
funzione : 
(l-a;")(l-a;^j...(l-a;') ' 
ma ora supporremo che P,^ rappresenti, in generale, il coefficiente di ce 
nello sviluppo di qualunque frazione razionale '-rrk-, dove con9(aj) e ^[x) 
intendiamo funzioni intere, ritenendo il grado della prima inferiore a 
quello della seconda. Si sa che l'espressione di P può riguardarsi come 
formata da tante parti diverse quante sono le radici distinte dell'equa- 
zione •ite)=0; e però chiamando p una di queste radici, t un'altra va- 
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riabilo, ed F(c) il coefficiente di - nello sviluppo ascendente dell'una o 
dell'altra funzione : 
(pro- 
segue da teoremi da noi dimostrati in due memorie mllo sviluppo in 
serie delle funzioni fratte razionali che la parte di P, dovuta alla radice 
p è per lo appunto uguale ad F(p). 
Ammettiamo ora che la funzione v(.r) si possa risolvere in due o più 
fattori razionali primi tra loro: fattori che generalmente supporremo 
della forma X\ indicando X una funzione intera a fattori lineari disu- 
guali. Considerando la somma delle parti di P^_ dovute a tulle le radici 
I*) Ma in riguardo a questa soluzione è necessario di avvertirsi una inesplicabile inesattezza che si 
riscontra nell'articolo originale del Sylvester rispetto alla formola (li, trovandosi al numeratore 
f" in vece di f"". E questa avvertenza è lauto più necessaria in quanto clic la formola è sostenuta 
col f" in tutto il corso dell'articolo, e quindi anche nell'esempio recato dall'illustre Autore, di modo 
che i risultamenti , che ivi si leggono, sono inesjtti. Ora questo esempio, il quale consiste nel tro- 
vare in quanti modi il numero n si può comporre per meno degli elementi 1, 2, 3, 5, 6, è il 
5° di quelli compresi nella tavola che diamo in fine delia presente memoria; e quivi si troveranno 
rettificati i risultamenti. 
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