siano r divisibili, ed s non divisibili per m, dinoteremo i primi con 
«, , a^,..,a^, e gli altri con b^, b^,..,b^, ed allora, siccome ciascuna delle 
potenze p p ^, . . • ,p '' è uguale ad 4 , si avrà dalla (4) 

''^'^~(l-e-"'')(l-e-"^0...(l-e^Vj(i_;x,-^')...(l„p^,-V) ' 
0 più compendiosamente: 
n{i-e-")xn(i-p"0' 
od ancora sotto altra forma; 
(6) . ^,(,)=,«^-logn(l-e-")-logn(l-p^e-) _ 
Sviluppando i due logaritmi abbiamo (V. la nota in fine): 
log(l-e ") = logat--t-t-^f-^r + -^i - eie: 
log (1 - p^ e--) ^ log (1 - p") - ^ - ^ - ^ - etc: 
dove B, , B3 , Bs , . . . figurano i numeri Bernoulliani , ed , Uj , , . . . i 
numeri ultra-Bernoulliani relativi alla base p"*. Posto successivamente 
nella prima a^, a^,..,a^ in luogo di a, e nella seconda b^,b^,..,b^ in luogo 
di e prendendo le somme, verrà: 
log n (1- e-") = log rna - ^ t + ^ - ^ + etc : 
Da queste due formole si deduce: 
^nt-iogn(i— o i_ ^{p,t-^p,e-{-p/+pf-^...) 
~ fU{a) ^ 
-logn(l-p'e-") 1 -{q,t-^q.f-i-qf + q/-h...) 
(■) Imitando il chiarissimo Schldmilch scriviamo generalmente &' (k con apostrofe) per indicare il 
prodotto 1 .2.3.. .fc. 
