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Le superfìcie doppie sono in numero di quindici; ognuna di esse è coordinata ad 
una retta tripla di una superficie * di contatto di un piano principale. — La superfìcie 
Vh ha una retta tripla nella ^^ alla quale è coordinala, intersezione dei due coni tripli 
W,, , W»,, e tripla per «1>^. 
Sono facili a verificarsi le identità: 
(1) <i) (I) (i> «) 
l 'ah — ^ik^ -^jl — ^ -^Jk ' 
le quali ci attestano che la superficie doppia passa per l'intersezione delle due dop- 
pie V ,,V .,, e passa pure per l'intersezione delle superficie doppie y^y.^ . Vale a dire 
che la superficie doppia V/. passa per le due cubiche piane , quadruple per la 
varietà. 
Per soddisfare, ad es. , alla equazione 
o=e,,-eo,, 
possiamo porre 
A,. : ... : A, a, = e (|a, + ji.,) : jx, : [j.. : ò" (fi, — JI3) : ([x., -f fXj) , 
dal che risultano le coordinale del punto corrente su X^^ nella forma: 
(58) h.\a\ : ... : k\x, = {n., + [xj» : jx,^ : jx^^ : (jx, — iXg)^ : (,x, + 1X3)' . 
Di qui scendono le equazioni della superfìcie medesima nella forma 
i _i/v^^+^A7^-|-k'X7^=o . 
f _Kv^;+|/x>;+KA7.r7=o . 
La superficie doppia Va è immersa nello spazio a quattro dimensioni. — Infatti, se 
la superfìcie medesima appartenesse ad uno spazio ordinario, questo dovrebbe conte- 
nere i piani v*^" e v^*" delle due cubiche quadruple (num. 27) per le quali passa la no- 
stra superfìcie. Tale spazio dovrebbe quindi avere l'equazione 
A,'^.-+ A/-A,'.r,_A,^a-,==0 , 
la quale non è soddisfalla identicamente dalle coordinate (58) del punto corrente di 
Ritorneremo un'altra volta sull'argomento delle superfìcie doppie di specie 'P, 
essendoci ora limitati alla loro indicazione. 
Inoltre avremo ad occuparci delle proprietà di una sezione spaziale generica della 
varietà E e di alcune notevoli sezioni particolari, fra cui è interessantissima la super- 
