§ 2. — Nuovi teoremi sulle curve A; gonali di 2^ specie. 
I. Rammentiamo brevemente che queste curve hanno, in funzione della gonalità A: 
e della dimensione R del sistema di curve agg. minime c"'~*~^ , i seguenti caralleri (cfr. 
M.ll.,g2): 
Pk-i = 2 d — Pk-i = 2 h(^ — 1) • 
Sicché si può dire che le curve Z.-gonali piane di 2^ specie sono delle curve C^l^j^^^j^ ,, 
con A-(ft + fì — 1)-1 — — punti doppii che debbono essere punti base di un siste- 
ma co" di curve dell'ordine k-\-R — 1. 
2. La (k — 2)"""" serie canonica delie curve k-gonali di T specie è una serie lìnea- 
re gi^'J^K^zi» dimensione 3 + 2R, e ordine {k-\- \)V^-\-2k. 
Infatti , nel n. 1 del § 3 della M. JI. si è dimostralo che le curve C*""* agg. alle curve 
A;-gonali di 2^ specie che passano per R-\- ì gruppi della g[ segano sulla curva una 
serie lineare cioè una serie (j^^^, ma il passaggio di una qualunque C'""*per cia- 
scun gruppo della vale due condizioni soltanto, dunque il sistema di tulle le curve 
C'""* agg. ha la dimensione 1 + 2(fì+ 1) = 3 + 2/{, e l'ordine eguale a + + 
= (A + l)i? + 2^. 
5. a) La serie residua della (k — i serie canonica, rispetto alla (k — 2)"""* 
serie canonica, è una serie lineare completa g^^^^ di dimensione Z, e di ordine 2k+ R- 
Infatti, se per fi+1 gruppi della passano oo^ curve C'"~* agg. che segano la 
curva C" in gruppi di A-f i? punii, per R gruppi della g^' ne passeranno cp che segano 
la curva C" in gruppi di 2A;+ fi punti. 
Per i?=0 questo teorema rientra nel precedente. 
h) Un'immediata conseguenza del teorema suddetto è il seguente teorema: 
In tutte le curve k-gonali di 2'^ specie la serie segata dalle rette del piano è incom- 
pleta ed è contenuta in una serie completa di dimensione 3, 
Si noti che questi due teoremi erano slati già dimostrali solo per le curve A:-go- 
nali di 2^ specie corrispondenti ai valori di R—0,R—\ *); ora risulta che valgono 
per qualunque valore di R. 
c) Un'altra conseguenza del teorema a) è questa: 
Nelle curve k-gonali di T specie {per k> 3) // sistema delle curve aggiunte di or- 
dine m — A ha costantemente la sovrabbondanza p^ eguale ad 1. 
*) Cfr. Amedeo, M.II., n. 2 del § 4, n. 2 del § 5. 
