grangia il primo *) (1756) a dare alla teoria delle serie ricorrenli un ampio sviluppo 
facendola scaturire da quella delle equazioni lineari a differenze finite; concetto questo 
che fu indi coltivato dal Laplace **), poi sviluppato ancóra dal Lagrangia medesi- 
mo ***) e dal Paoli ****). 
il Lagrangia nella noia citata del I75G considera il caso più generale della 
equazione (1) con il secondo membro l'unzione di p, generalizzando a questo caso la 
formola di Moivre. Una seconda generalizzazione della medesima formola la ottiene 
nella memoria del 1775 cercando come si modifica la parte di essa che dipende dalle 
radici a,b,...k, allorché b,c,...k tendono successivamente ad a; però, per inavver- 
tenza, giunge ad un'espressioufì che è poi dimostrala inesatta dal Malfatti *****), che la 
modifica per via di induzione. In questa stessa memoria il Lagrangia, oltre a dare le 
espressioni di A,B,... della soluzione di Moivre in funzione dei termini iniziali della 
serie, si occupa, sempre dal punto di vista delle equazioni a differenze finite e parziali, 
delle serie doppie e triple; trattazione questa che fu indi considerata dal Malfatti, 
ed estesa dal Paoli, nella memoria citata, al caso in cui il numero dei termini che 
entrano nella scala di relazione ******) non è costante. Notevole è anche la memoria del 
Paoli per le applicazioni alla teoria della partizione dei numeri. 
L'osservazione menzionata del Malfatti porse al Lagrangia l'occasione di una 
terza memoria sulle serie ricorrenti *******) ove la teoria ne è ripresa dal suo inizio e 
trattata indipendentemente dalle equazioni a diflerenze finite, ed ove trovansi, pei coef- 
ficienti A,B,... della soluzione di Moivre, le espressioni eleganti (in forma simbolica 
relativamente alle y) 
^ (.'/ -b){y-c)... (y - l) ^ ^ i u — a) {y — c) . . . {tj — l) 
{a — b){a — c)...{a — l) ' {b — a) (b — c) . . . {b — l) ' " ' 
In questa memoria sono notevoli le diverse forme delPespressione di relative al 
caso dell'equazione generatrice con radici muUiple e che possono riassumersi come 
segue (notando che si adopera la forma simbolica per le ?/ e che rappresenta la 
parte di dipendente dalla radice multipla a del grado « di multiplicità) : 
*) Lagrangia, Oeuvres Compleis, T. I. Questa memoria fu la seconda delle pubblicazioni 
del Lagrangia. 
**) Laplace, Sulle serie ricorrenti e sulla integrazione delle equazioni differenziali finite 
loro uso nella teoria delle probabilità (VI e VII delle memorie presentate all'Accademia delle scienze 
di Parigi). 
***) Lagrangia, o. e, T. IV, p. 151 (Anno 1775). 
****) Pietro Paoli (Voi. II delle Memorie di matem. e fisica della Società Italiana, Anno 
1784). 
*■■'***) Malfatti (Voi. Ili delle Memorie di matem. e fisica della Società Italiana, Anno 1786). 
***=***) Il Moi vre chiamò scala di relazione la successione 1 denominazione che fu 
mantenuta da Eulero e adoperata dal Catalan per indicare invece la (1). La denominazione del 
Catalan qui è estesa anche alle serie ricorrenti doppie, triple... Il Lagrangia chiamò la (2) equa- 
zione generatrice. 
*******) Lagrangia, o. e., T. V, p. G28 (Anno 1892). 
