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Le formole su indicate, più o meno direltamento, conducono ad espressioni della 
forma 
V. Y„^=a'<PJr) 
(in cui <t>Jr) è ima funzione intera in r di grado «—1); ed a tale formola si arriva in 
modo semplice, specialmente seguendo il metodo adoperalo da Eulero, cioè dello 
sviluppo in serie di potenza delle frazioni semplici in cui si decompone la frazione ge- 
neratrice; ed anzi il Calai a n *), notando potersi tale metodo seguire a ritroso, ha enun- 
ciato il teorema inverso «Se il termine generale di una successione y, .y^ ,2/3 . . . può 
ricevere la forma 
+ + • • • + ^"^.C»-) , 
in cui *a(')>*i>(') 5 •••*(('")) sono funzioni intere in r dei gradi rispettivi «—1,^ — 1,... 
r— » 
X — 1 ; la serie ^y^x'' è ricorrente, e l'equazione generatrice è appunto 
r=0 
(x — — ... (a; — 0^ = 0 **) ». 
Cosi, il problema della ricerca del termine generale di una serie ricorrente poteva dirsi 
compiutamente risoluto; però la distinzione non necessaria delle parti di dipendenti 
dalle diverse radici ***), importava la conoscenza sia dei valori delle medesime, che 
1894) che « la condizione necessaria e sufficiente perchè la serie soddisfi ad una scala di relazione di 
ordine più basso, è che <\i(z) ed f{z) abbiano un comune divisore». 
Torna a proposito di rilevare anche la forma data dal Tr udi, nella memoria citata, alla parte 
intera Q( del quoziente di f(x) per {x — a)*, (a essendo 0 no radice di f{x) = 0). Posto in fatti 
f,{z) = z'^a/-'~a,z'-'+... + a, , per ? 0 , 1 , 2 , . . . , n - 1 ; 
il Trudi nota dapprima essere 
Q, = /;(aK"' + A(«^-'*"'-r--- + /:.-,(«) ; (?) 
e poi 
1 dQ, 
«■ = i7^A?^l • W 
Evidentemente se (x — «)' è il mass. coni. div. di f(x) e '\i{x), si ha in la nuova scala di 
relazione, ridotta. 
Nel d'Ocagne (Memoria citata), si ritrova la sola (P). 
*) E. Catalan , Traité élémentaire des séries. (1860). 
**) Conseguenza immediata di questo fecondo teorema è che « se si moltiplicano, termine a ter- 
mine, più serie ricorrenti, si ottiene una serie anch'essa ricorrente la cui equazione generatrice ha per 
radice i prodotti delle radici delle equazioni generatrici delle serie ». Tale teorema, rilevato dal Lucas 
(1891) nella Théorie des Nombrcs (p. 306) per le serie del 2° ordine, è stato indi enunciato nella sua 
generalità dal d'Ocagne {Mem. citata). 
***) Confronta a questo proposito una nota di Jamet Su?' la decomposi ti on des fractions ration- 
nelles en fractions simples (Nouv. Ann., pag. 228-232, Anno 1889), ove è dimostrata la seguente 
formola, che ricorda quelle del L a g r a 11 g i a 
^(^)^ 1 r +(«) ] 1 rf^" r m -1,1 d^-'j m 1 
(\x) a-1 </a'-'L(a-a)/;(a)J"*' p-l db^-'l{x-b)f,{b)\^"^ X-1 dl^-'l{x-l)fll)\ ' 
