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In particolare il differenziale totale di {a'*) è dato dalla formola 
dia')^ = a[a--\dal (7) 
ove da deve essere considerato come un sol fattore, com'è chiaro. 
La formola (6), per h—l, si dimostra osservando che l'operazione \^ consiste nel 
cambiare in ciascun termine di U, in tulli i modi possibili, un sol fattore a nel corrispon- 
dente r. Dimostrala la (6) per /ì=:1, applicandola successivamente, la si dimostra in 
generale. 
5. Dalla (7) mercè la (4) si deduce 
donde 
Analogamente si dimostrerebbe la formola più generale 
= . (8) 
6. Si noli, per incidente, l'eguaglianza 
7. Facendo nella (6) /ì=1 ,rj=:A,.a. per qualunque valore di i, verrà 
onde, messo identicamente 
. ^A„,A„(««A^..) = (Aa'i^..) , 
(9) 
poiché il primo membro rappresenta ciò che diventa (a*6^..) allorché un suo termine 
qualunque a^a^ ...a^b^b^... si moltiplica per — (A^ +A^^H- .. .+A^ ), un tale signi- 
ficalo si darà al 2.° membro della (9), e risulterà quindi l'identità 
(A«"i^..)p = A^z.iP...)^, (10) 
la quale comprende molte altre identità per la proprietà associativa del simbolo. In 
particolare si ha 
(Aa'i^ ...)^ = (a'-' . Aa . l^)^, = (a'"'' . A«' . . . .)^, ecc. 
Notiamo che se 
