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In falli, messo per qualunque valore di r e ùì q 
i [ì.^ per r^q ì 
is.= L ^ (21) 
[ 0 per r^q ) 
la III mercè la (10) polrà scriversi 
^,(0 ^ - 4- («Vi), + (- i)'("X), ; (iir) 
ove si ricorda che la tq. funziona come la A nella (10). 
È quasi superfluo il notare che la può oltenersi dalla operando su uu ler- 
mine qualunque di questa col moltiplicarlo pel rapporto del numero dei fattori (uguali 
0 disuguali) che figurano in esso lermine con un indice non inferione ad /, al numero 
lolalc di essi fattori. Come pure, con un'operazione analoga, si può ottenere la Wg{i). 
Vogliamo ora notare due forme particolari interessanti della I. Fatto in essa n = l, 
p=zq — l e guardando le (19) e la II risulta a^z=:Wq{ì) e quindi per la III e IH' viene 
^.=^-(^)«+(«*).-("'^^.+ --- + (-i^'("'"^^). ; (1) 
= - («1^), + («V), - («H + ••• + (- l)'(aV), ; (I") 
17. Prima di proseguire vogliamo, facendo qualche applicazione, esporre taluni 
teoremi che non ci sembrano privi d'interesse. 
a) Si metta, per qualunque valore di — 
5 P • ' 2p--i 3p- 
^,= C,_.3 + C_ + C +... ; ove 
^ ' 2p— 2 3p— 2 
Da un teorema generale *) si deduce che le o soddisfano al sistema di congruenze 
ove p = numero primo >3 
= n — 2 
1 perg-— p — 2 [ 1 ^ev q = p 
2 per q ~ p — 1 ) 1 
I — 2 per q=j) \ 
0 negli altri casi [ 0 negli altri casi 
quindi applicando la (II") si deduce una espressione del resto di (mod. p) donde 
« qualunque sia il numero primo p>>3 si ha 
^3 + c „ + g\ -f. . . . ^\(- 1)^ ^==-^ ■ - V"7T~ - ' ^"^*^^^> 
2p-2 3p-2 ^ ' X 1/ -\- Z \X \ l/ \ Z 
*) Vedi Giornale di Battaglini, Voi. XXXIV, Sui numeri e polinomii di Bemoulli. 
[Formola (15)]. 
