^7 sommatorio essendo esteso a qualunque soluzione per numeri interi non negativi, della 
equazione 
{p — 2)a ^{p — \)y lìz =^ q ». 
A proposilo ili questo teorema notiamo che nel caso particolare di p = 5 partendo 
dalla formola ora slabilila si può dimoslrare, dopo diverse trasformazioni, che 
/ resti di 
H3 = C3 + C;' + C^'+ 
rispetto al modulo 5, al variare~di q si succedono periodicamente ed il periodo è 12 *). 
Direttamente si trova che i resti ai H3' corrispondenti a g^nO, 1 ,2,... 1 1 sono 
rispettivamente 
0,0,0,1, — 1,0,1.2,— 1,— 1,0,2 
quindi si avrà 
H3 = -l + (-ir'.2 ^-e|.(_i^.^2£-^(-l) ^ _2£ ^^.(-l) ^ (mod. 5) 
ove, per x ed y interi, 
^ 1 1 per X nullo o divisibile per y 
f 0 negli altri casi 
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ed è il minimo resto positivo di x rispetto al modulo y, 
h) Se nella (14) si suppone 
«5 ~ 1 . \Kj = — 7' 
per qualunque valore di q, è visibile che risulta 
c=27-l. 
D'altra parte, applicando la 1' si ha un'espressione diversa di e quindi egua- 
gliando i due valori moltiplicati per — q risulta la proposizione «Se // coefficiente nu- 
merico di un termine di Sg (somma delle potenze q."'® delle radici di un'equazione alge- 
brica completa di grado qualunque) sviluppata secondo la formola di ìVaring, si 
moltiplichi per la somma dei quadrati degli indici che compariscono nella parte letterale 
*) Questo teorema, con la consecutiva espressione del resto, lo abbiamo rilevato anclie perchè 
potrebbe servire di aiuto nell'indirizzare a completare il seguente teorema generale che ci sembra nuo- 
vo « Se i numeri razionali . .. a_, , c_, .a^ ,a, . a, . .. sono i termini successivi di una serie ricorrente 
propriamente detta estesa nei due sensi, esiste un numero m tale che si ha, relativamente ad uno 
stesso modulo qualunque j), 
qualunque sia q ». 
(Ben inteso che se una c è una frazione — , con a,b interi, si metterà — = ab mod^ ove 
ò 0 
b' d un intero soddisfacente alla congruenza Ib =i\ (mod/)). 
