§ I. — Generalità sulla quartica gobba dotata di punto doppio 
1. La curva gobba di quarto ordine e con punto doppio, o quartica gobba ar- 
monica *), è base di un fascio di quadriche toccantisi tutte in un punto 0, il punto dop- 
pio. — A questo fascio appartengono due coni bi-projellanti la curva ed un cono proiet- 
tante dal punto doppio **). — Cóme per ogni quartica gobba razionale, le tre corde prin- 
cipali concorrono in un punto V; ma una di esse, che indicheremo col simbolo d, è 
r intersezione dei due piani osculatori nel punto doppio: le altre due, che appoggiano 
alla curva in coppie di punti distinti, verranno dette corde principali proprie, e si in- 
dicheranno coi simboli dj , dg . — Le due coppie di punti di appoggio delle corde princi- 
pali proprie definiscono un quadrangolo, del quale uno dei punti diagonali è il punto 
V di concorso delle tre corde principali, e gli altri due sono i vertici dei coni quadrici 
bi-projetlanti la quartica ***)• 
2. Assumiamo la determinazione parametrica dei punti di CS già proposta dal 
Wevr nella quale si assegnano i valori 0 ed oo al parametro del punto doppio, 
cosicché potrà darsi la forma 
(1) W3^.= l 
all'equazione di condizione necessaria e sufficiente perchè sia piana la quaderna dei 
punti di parametri ,\,X^,X^. Di guisa che saranno: 
(2) VX, = l 
la relazione tra il parametro \ del punto di contatto e quello X, del punto di sega- 
mento di un piano osculatore; 
(3) X* = 1 
l'equazione dei punti di contatto dei piani stazionari; 
e sarà 
(4) X* = -l 
*) Perchè è armonica la quaderna dei punti di contatto dei piani stazionari (Armenante: 
Sulle curve gobbe razionali del quarto ordine, Giornale di Matematiche di Battaglini , voi. ii e 
i2, 1873-74. — Brambilla : Ricerche analitiche intorno alle curve gobbe razionali del quart' or- 
dine ^ Atti del R. Istituto Veneto, 1885. — Sopra alcuni casi particolari della curva gobba ra- 
zionale del quarto ordine, Rendic, d. R. Accademia delle Scienze di Napoli, 1885. 
**) La curva C* partecipa dei caratteri di quartica di 1' specie, e di quartica di 2* specie : la 
presenza dei due coni bi-projettanti (nel fascio di quadriche) appartiene al primo carattere ; men- 
tre il cono quadrico projettante dal punto doppio è il luogo delle trisecanti e spetta alla seconda 
specie. 
***) Br ambi Ila : Sulla curva gobba del quart' ordine dotata di 2ìunto doppio, Rendic, del 
R, Istituto Lombardo, 1884. 
****) Ueber rationaler Curven vierier Ordnung, Math. Annalen, Bd. IV. 
