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coinu7ie (lue 'piani diagonali che sono i ■piani polari dei vertici dei coni bi-projetlanli ri- 
spetto alla quarlica: in ognuno dei medesimi angoli tetraedri, il terzo piano diagonale è 
quello che projetla dal rispettivo vertice la d' congiungente i vertici dei suddetti coni 
bi-projetlanti. 
16. Se nell'equiizione (17) poniamo i ispellivamenle per « i valori 1 , 3 , 5, Il ot- 
teniamo le equazioni dei piani A*''; e se poniamo a = 2,4,6, 12 otteniamo le equazioni 
dei piani A'^' . Se scriviamo 
p, = 1 + ti' + Yi^ -{- T0« e 1 + TQ ^ if)^ = r,* 
*) In parecchie espressioni che si presentano risolvendo alcune questioni relative a questi piani 
A si ottengono notevoli semplificazioni di forma mediante talune identità che qui registriamo. Oltre 
ad aversi, evidentemente, p, -f- Pj = 1 > si trova agevolmente p^p, = 2 e quindi (p, — Pj)' = — "7 
da cui p, — p^ = àziy-r. Il segno a scegliersi dev'essere 1' inferiore, perchè si trova per altra via 
^ / 57T , Sor T\ 
• Pi - P-2 — — ( sen — -f sen y — sen y j . 
e 
sen r sen ■— sen — 
è positivo. Dunque 
?| — Ps 
Registriamo incidentalmente la relazione 
7 7 
= -^•1/7- 
57T 3r Tir 1 ,,— 
sen \- sen sen — = — Vi . 
7 7 7 *2 
Del resto è questo un caso particolare di relazioni più generali, che, forse, possono essere 
utili iu problemi più inoltrati, del genere che trattiamo. — Essendo p un numero primo, si ponga 
t) = e* ^ . Sussiste allora la formola, indicatami dal prof. E. Ce sàro, 
2=p-l 
dove è {—^ il noto simbolo di Legendre avente il valore o — 1 secondo che sia q un residuo 
od un non-residuo quadratico di ^, e dove si assumerà zb^) secondo che sia j3 = +:l (mod. 4). 
Siano infatti a,p,Y,... i residui quadratici ed a' , p' , y > • • • ^ non-residui quadratici di p e si 
pongano: 
/. = ! r,^ + V -T-.... , 1 + V TQ^-f 
Si avranno allora 
/c4-A=l a;/ = ^(1=fp) 
' 4 
