§3. 
Supponiamo che le linee l,2,...,n soddisQno alla condizione di essere biset- 
trici degli angoli rispettivi della poligonale €1; quest'ultima risulta allora percorsa dal 
punto mobile M con velocità uniforme v. 
Indicando delti angoli con 2a , 2p , 2y , . . . abbiamo: 
_?l_^_Ii_=,JP3_:= ^2v • 
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cioè, gli incrementi di velocità ?, , , , ••• divengono proporzionali ai coseni delle 
metà di questi angoli. 
Se i lati contigui (r — 1 , r) , (r , r + i) di a sono eguali , il coseno della metà 
dell'angolo compreso misura il rapporto tra ciascun lato e il diametro del cerchio che 
passa per gli estremi dei lati stessi. Dunque, quando i lati della poligonale €1 sono tutti 
eguali tra loro, le velocità 9, , T.^ , • • • , <P„ riescono reciprocamente proporzionali ai raggi 
dei cerchi, ciascuno dei quali passa per tre vertici consecutivi di €l. 
H. 
Le linee 1 , 2 , . . . , n siano concorrenti in un medesimo punto 0. 
Le rette (r — 1 , r) , r , (r , r + 1) sono in piano; così pure sono in piano le rette 
(r , r-f 1) , r + 1 , (r + 1 , r +1). Ma, in via d'ipotesi, le linee r , r + 1 concorrono 
nel punto 0; quindi, quei due piani hanno in comune la retta (r,r4-l) e il punto 0 
posto fuori di essa, e per ciò coincidono nella loro estensione. 
Il piano individuato dal primo e secondo lato della poligonale a coincide, dunque, 
col piano del secondo e terzo lato; col piano del terzo e quarto lato, e cosi di seguito. 
Ovvero: quando le linee 1 ,2 , ... ,n concorrono in un punto 0, affinchè la poligonale 
€1 possa essere percorsa dal mobile M, si richiede che essa sia "piana e che il suo piano 
contenga il punto 0. 
Le velocità con cui il mobile M percorre due lati consecutivi di €l, sono in ra- 
gione reciproca dei seni degli angoli che questi lati comprendono rispettivamente colla 
congiungente il loro vertice comune al punto fìsso 0. Ma i seni di quegli angoli sono 
proporzionali alle perpendicolari condotte da 0 sopra i lati medesimi; quindi, la velo- 
cità v^ corrispondente al lato (r, r + 1) è reciprocamente proporzionale alla perpendico- 
lare (che denominerò z^) condotta dal punto 0 su questo lato. 
Quando la linea a è un poligono chiuso, riesce anche un poligono chiuso la linea 
c8. Comunque sia, il diagramma del movimento e quello delle velocità si presentano 
sotto l'aspetto di figure piane tra loro legate dalla corrispondenza di reciprocità note- 
vole, che all'insieme delle rette appartenenti ad un diagramma concorrenti in un punto, 
corrisponde nell'altro una poligonale formata di altrettante rette parallele alle prime. Si 
riconosce infatti, che al fascio di raggi dell'una figura uscenti dal punto 0, corrisponde 
nell'altra la poligonale c5; alla poligonale €1 della prima, corrisponde nella seconda il 
fascio di raggi aventi per centro il polo 0. 
