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Quindi: se la traiettoria è un'ellisse e l'accelerazione converge nel suo centro 0, 
l'odografo, ricondotto nella primitiva posizione, è una ellisse omotetica alla prima; sic- 
ché se il rapporto di omotetia ^ è l'unità, può essere assunta la stessa trajeltoria come 
odografo. 
In una maniera analoga si giunge all'altro risultato: se la traiettoria è un'iperbole, 
l'odografo è pure un'iperbole che ha gli stessi assintoti della traiettoria. Quando — = 1 
ab ' 
l'iperbole odografo riesce supplementare dell'iperbole traiettoria. 
L'arco elementare ds di curva descritto dal punto M nell'elemento di tempo dt suc- 
cessivo al tempo ha per espressione: 
ds=v .dt=: — r'.dt , 
ab 
denotandosi con r il semidiametro OM'. 
L'arco percorso nello stesso tempo dt dal punto M , è invece: 
ds' = —rr.dt . 
ab 
L'arco elementare do corrispondente dall'odografo riesce quindi: 
da= — .ds' — -ipr.r.dt . 
ab a^b* 
Ora, l'arco da dell'odografo rappresenta l'incremento di velocità nel tempo dt, per 
conseguenza ^ è l'espressione dell'accelerazione istantanea w, da cui è animato il mo- 
bile alla Gne del tempo t. Ponendo per semplicità di scrittura: 
_ X* 
^-a'b^' 
avremo definitivamente: 
w=[ir . 
Per r iperbole osservazioni e conseguenze identiche. 
Possiamo per ciò trarre la conclusione: se un punto descrive un'ellisse Co un'iper- 
bole) in virtù, di una velocità iniziale y„ e di un'accelerazione w, che converge (o diverge) 
nel centro della curva, la w è proporzionale al corrispondente raggio vettore. 
Per trovare il tempo che il mobile impiega a percorrere un certo arco della sua 
traiettoria, s'applica il principio delle aree; cosi, per il moto ellittico il tempo T corri- 
spondente ad un'intera rotazione ha per misura: 
^ 2'r:ab 2n 
questa relazione mostra che la durata di ogni rivoluzione è indipendente dalle circo- 
stanze iniziali del movimento. 
